Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Для проверки устойчивости САР в области I задаются величиной ReK₁, взятой из этой области, например ReK₁=0, и записывают характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составляется квадратная матрица Гурвица из коэффициентов :

Необходимо и достаточно для устойчивости САР, чтобы при были положительны все диагональные миноры квадратной матрицы Гурвица. При анализируются знаки диагональных миноров:

Все диагональные миноры положительные, следовательно, САР устойчива и область D-разбиения показывает границы устойчивости системы в плоскости искомого параметра (коэффициент усиления К₁). Из рисунка 7 видно максимальное значение коэффициента, его точное значение определим с помощью программы MathCAD:

 

 

Критерий устойчивости Найквиста

Для проверки устойчивости по критерию Найквиста анализируется АФЧХ разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой САР при принятых значениях коэффициентов имеет вид:

Вначале определяется устойчивость разомкнутой системы. Для этого используется собственный оператор разомкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

Используя критерий Рауса-Гурвица, можно показать, что разомкнутая система устойчива.

Необходимо и достаточно для устойчивости САР, чтобы при были положительны все диагональные миноры квадратной матрицы Гурвица. При анализируются знаки диагональных миноров:

Все диагональные миноры положительные, следовательно, САР устойчива.

Затем, воспользовавшись программой Radis, рассчитывается и строится АФЧХ разомкнутой САР.

Рисунок 8 – АФЧХ разомкнутой САР частоты вращения.

Из графика следует, что АФЧХ разомкнутой САР не охватывает точку с координатой (-1;j0), следовательно, замкнутая САР будет устойчива.

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ САР

Качество регулирования САР определяется по показателям качества переходного процесса при ступенчатом управляющем воздействии. Переходные характеристики рассчитываем по алгоритму и программе RADIS. При заданных исходных данных передаточная функция замкнутой САР при управляющем воздействии:

Задаваясь значениями коэффициента К₁ из области устойчивости D-разбиения (К₁=0.1; 0.4; 0.9), определяем переходные характеристики при ступенчатом управляющем воздействии. Из анализа переходных характеристик видно что уменьшение коэффициента усиления звена в прямой цепи регулирования САР приводит к колебательному переходному процессу и в то же время к снижению статической.

Рассмотрим показатели качества регулирования для указанных случаев:

- максимальная величина перерегулирования;

- время регулирования, в течение которого заканчивается переходный в пределах заданной точности

- угловая частота собственных колебаний;

- число периодов колебаний за время переходного процесса;

 

Показатели качества перерегулирования САР при :

Рисунок 9 – Переходная характеристика при .

Показатели качества перерегулирования САР при :

Рисунок 10 – Переходная характеристика при .

Показатели качества перерегулирования САР при :

Рисунок 11 – Переходная характеристика при .

Составим таблицу 1, содержащую зависимость показателей качества перерегулирования от значения коэффициента .

Таблица 1 - Зависимость показателей качества перерегулирования от .

Коэффициент К1	Динамический заброс в переходном процессе	Установившееся значение	Время регулирования	Угловая частота собственных колебаний САР	Число колебаний за время переходного процесса	Величина перерегулирования
	0.019	0.0985	2.63	6.59		19.29
	0.11	0.29	4.32	5.68		37.93
	0.275	0.453	7.78	6.32		60.7

В результате анализа показателей качества перерегулирования, видно, что показатели при , меньше, чем при других . Регулятор работает лучше при коэффициенте .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был проведен анализ устойчивости заданной САР. Выведено дифференциальное уравнение выходного звена. Построены структурная и преобразованная схемы САР. По схемам были определены передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы, записаны собственные операторы разомкнутой и замкнутой САР. Определены коэффициенты операторов.

В ходе работы была исследована устойчивость системы. Анализ устойчивости проводился путем построения D-разбиения в плоскости коэффициента усиления . В результате построения были получены три области, одна из которых является областью устойчивой работы САР.

Устойчивость системы в области 1 проверялась при помощи критерия Рауса-Гурвица. Проанализировав знаки a₀ и диагональных миноров, был сделан вывод, что САР является устойчивой в области 1.

Проведена оценка качества регулирования САР по критерию Рауса-Гурвица и Найквиста (рисунок 9), записана таблица с показателями качества регулирования и построены графики выходного сигнала от времени, для коэффициентов .

Проведенный анализ регулирования показал, что при увеличении коэффициента качество перерегулирования ухудшается, следовательно, регулятор работает лучше при коэффициенте .