Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчивой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и первый коэффициент характеристического уравнения а₀ положительны:

а₀ >0; Δ₁>0; Δ₂>0;…; Δ_n>0.

Определитель Гурвица строят по коэффициентам характеристического уравнения:

.

Существует правило: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Максимальный индекс коэффициента n (n – порядок характеристического уравнения), минимальный нуль. Столбец заполняется до положенного числа n элементов нулями.

Номер диагонального минора определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид

.

Коэффициенты характеристического уравнения:

 

=0,0134

= 1,344

=11,2

=70

=69

Δ₁= а₁=1,344;

 

=14,144;

 

=865,409;

 

=5,971·10⁴

Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова

Для определения устойчивости систем по критерию А.В. Михайлова следует построить кривую, го­дограф Михайлова, т.е. годограф, который описывает на комплексной плоскости, вектор получаемый из вектора D(р) заменой р на jω (см. рис 10).

Критерий Михайлова формулируется следующим образом [1]: линейная система n-го порядка устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до +∞ охватывает начало координат и проходит последовательно n квадрантов, повернувшись против часовой стрелки на угол , где n – порядок системы.

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает вещественную ось. Для этого полагают, что M(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в В(ω) частот, при которых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересекает мнимую ось. Для этого полагают В(ω) = 0. Значения модуля вектора D(jω) получают подстановкой в M(ω) частот, при которых происходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чередоваться: частоты с ве­щественной осью – ω₁, ω₃, ω₅ и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂, ω₄, ω₆ и т.д. Причем:

ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃

Строим годограф Михайлова:

.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает вещественную ось. При этом M(ω)= 0.

;

ω₁ = 0 с^-1; ω₃ = 7,22 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₁ и ω₃ в B(ω):

В(ω₁) =69; В(ω₃) = -478,43.

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. При этом B(ω)= 0.

Отбрасывая отрицательные значения корней уравнения (частот), получим:

ω₂ = 2,52 с^-1; ω₄ = 28,8 с^-1.

Найдем модули вектора D(jω) для этих частот. Для этого подставляем ω₂ и ω₄ в M(ω):

M(ω₂) =154,9; M(ω₄) = -30089,3.

Т.к. ω₂ > ω₁; ω₃ > ω₂; ω₄ > ω₃, то система должна быть устойчива. Годограф Михайлова представлен на рис. 10.

Имеем систему 4-го порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно прохо­дит 4 квадранта, а вектор D(jω) поворачивается против часовой стрелки на угол 4π/2.

Следовательно, система устойчива.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ПО КРИТЕРИЮ НАЙКВИСТА

Критерий Г. Найквиста, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ).

Необходимая АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. В выражении передаточной функции разомкнутой системы W_ск(p) заменяют p на jω и получают уравнение АФЧХ разомкнутой системы W_ск(jω). Чтобы построить АФЧХ, необходимо представить ее состоящей из вещественной и мнимой частей:

,

затем, задаваясь значениями ω от 0 до ∞: ω=0, ω₁, ω₂,… необходимо найти точки [U(0);jV(0)]; [U(ω₁);jV(ω₁)];…, покоторым построить АФЧХ на комплексной плоскости [1].

Если разомкнутая система устойчива или находится или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с. координатами (-1;j0)

Для исследования нашей системы на устойчивость по Найквисту, нужно в наше выражение:

 

вместо р подставить jw, и преобразовать его так, чтобы получилось две части – действительная и мнимая. Расчет такого уравнения с построением графика зависимости мнимой части от реальной произведем на компьютере

 

Разложим числитель:

Разложим знаменатель:

 

 

Получили действительную и мнимую части:

Re(X)/Y и Im(X)/Y

Далее расчет производим на компьютере:

 

 

 

Как видно из графика (рис. 11) не вхождение в АФЧХ W(jω) точки (-1, j0) соблюдается. И на частоте среза фаза меньше -3,14. Значит мы получили устойчивую систему.

Все рассмотренные критерии устойчивости оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью.