Определение переходной функции скорректрованной системы

Синтез САУ, проведенный приближенными методами на основе логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, завершают выяснением свойств скорректированной системы, установлением соответствия между фактическим перерегулированием и временем регулирования и их заданными величинами. С этой целью методом трапеций на основе вещественной части частотной характеристики замкнутой системы от частоты определяют переходную функцию замкнутой системы, т.е. ее реакцию на единичное воздействие со стороны задатчика.

Частотный метод построения переходного процесса основывается на количественной связи между временными и частотными характеристиками, которую можно выразить формулой

,

где P(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Построение переходного процесса.

Для определения числовых значений показателей переходного процесса необходимо иметь его кривую, которую можно получить в результате расчетов.

Частотный метод построения переходного процесса основывается на количественной связи между временными и частотными характеристиками.

Вещественную частотную характеристику замкнутой системы получают в виде графика с использованием Р-номограммы [1]. На основании ЛАЧХ и ЛФЧХ находим различные значения амплитуды и фазы от частоты (табл. 2) и строим график Р(w),он представлен на рис.7

 

Таблица 2

L(w)	w	j	P(w)
		-136	1,075
		-132	1,15
2,5		-136	1,025
-1,3		-150	0,1
-4		-161	-1
-7		-170	-0,8
-8		-178	-0,7
-9		-183	-0,5
-10,4		-188	-0,5
-10,7		-192	-0,5
		-196	-0,4
		-200	-0,3
		-203	-0,3
		-206	-0,2
		-209	-0,2
16,5		-211	-0,1
		-220	-0,1
		-225	-0,05

2. Построение h(t).

По известному графику P(w)можно получить переходную функцию h(t) по предложенному В.В. Солодовниковым приближенному графоаналитическому методу построения кривой переходного процесса.

Для этого аппроксимируем P(w) трапециями, хотя бы одно основание которых было на оси ординат. При этом получается 6 геометрических фигур: абв, вгде, еджз, зжий, йклм, млно.

Для каждой трапеции определим ее параметры, по графику найдем отношение c_i = w_ai/w_Пi и высоту P_i. Величину P_i следует считать положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной в противоположном случае полученные значения приведены в таблице 3.

Таблица 3

Трапеция	wa	wn	c	P
абв				-0,15
вгде			0,88	0,45
еджз			0,62	1,31
зжий			0,82	0,42
йклм			0,40	-0,63
млно			0,43	-0,41

 

Для каждого значения c_i = w_ai/w_Пi, по Приложению 3 [1] определим t и h(t) (табл. 4), а затем вычислим значения текущего времени t (табл. 5) и составляющей h_i(табл. 6):

t = t/w_Пi, h_i = P_ih(t).

Построим графики составляющих h₁(t) переходной характеристики, и суммарную h_СУМ(t) (рис. 8) результаты расчетов приведем в таблице 6.

Таблица 4

Χ Τ	абв	вгде 0,9	еджз 0,6	зжий 0,8	йклм 0,4	млно 0,45
0,0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,5	0,158	0,297	0,255	0,282	0,223	0,231
1,0	0,310	0,575	0,490	0,547	0,432	0,447
1,5	0,449	0,813	0,706	0,776	0,617	0,646
2,0	0,572	0,991	0,878	0,956	0,786	0,810
2,5	0,674	1,105	1,010	1,084	0,917	0,943
3,0	0,755	1,169	1,100	1,154	1,013	1,038
3,5	0,815	1,175	1,145	1,174	1,074	1,095
4,0	0,857	1,141	1,158	1,156	1,110	1,127
4,5	0,883	1,085	1,141	1,111	1,120	1,129
5,0	0,895	1,019	1,107	1,053	1,112	1,117
5,5	0,900	0,962	1,070	0,994	1,092	1,096
6,0	0,903	0,922	1,021	0,949	1,068	1,062
6,5	0,904	0,906	0,982	0,920	1,043	1,033
7,0	0,904	0,909	0,957	0,911	1,023	1,009
7,5	0,907	0,934	0,944	0,920	1,005	0,989
8,0	0,910	0,970	0,941	0,944	0,998	0,981
8,5	0,918	1,006	0,948	0,974	0,992	0,977
9,0	0,924	1,039	0,961	1,006	0,992	0,978
9,5	0,932	1,059	0,980	1,033	0,993	0,982
10,0	0,939	1 063	0,993	1,049	0,993	0,987
10,5	0,946	1,055	1,007	1,054	0,993	0,989
11,0	0,947	1,034	1,014	1,048	0,993	0,991
11,5	0,949	1,010	1,017	1,034	0,991	0,989
12,0	0,950	0,984	1,019	1,015	0,988	0,990
12,5	0,950	0,965	1,015	0,995	0,986	0,989
13,0	0,950	0,955	1,012	0,980	0,985	0,989

 

Продолжение таблицы № 4

χ τ	0,0	0,9	0,6	0,8	0,4	0,45
13,5	0,950	0,954	1,010	0,968	0,984	0,989
14,0	0,952	0,965	1,008	0,965	0,985	0,991
14,5	0,954	0,981	1,005	0,969	0,988	0,996
15,0	0,956	1,001	1,002	0,978	0,991	1,000
15,5	0,959	1,019	1,001	0,991	0,996	1,004
16,0	0,961	1,031	1,000	1,003	0,998	1,007
16,5	0,964	1,036	1,001	1,014	1,002	1,009
17,0	0,965	1,032	1,000	1,020	1,005	1,010
17,5	0,966	1,023	0,997	1,023	1,005	1,010
18,0	0,996	1,008	0,997	1,020	1,008	1,010
18,5	0,966	0,993	0,995	1,014	1,007	1,009
19,0	0,967	0,981	0,993	1,006	1,006	1,006
19,5	0,967	0,973	0,992	0,998	1,005	1,004
20,0	0,967	0,972	0,992	0,991	1,005	1,002
20,5	0,968	0,974	0,994	0,986	1,004	1,001
21,0	0,968	0,981	0,997	0,983	1,004	1,001
21,5	0,969	0,997	1,000	0,987	1,004	1,000
22,0	0,971	1,012	1,000	0,991	1,004	0,999
22,5	0,973	1,022	1,004	0,998	1,004	0,999
23,0	0,974	1,025	1,006	1,002	1;003	0,998
23,5	0,975	1,023	1,007	1,007	1,003	0,998
24,0	0,975	1,015	1,008	1,008	1,002	0,997
24,5	0,975	1,005	1,006	1,008	1,001	0,997
25,0	0,975	0,991	1,004	1,005	1,000	0,996
25,5	0,975	0,986	1,002	1,004	0,998	0,996
26,0	0,975	0,984	1,000	1,002	0,997	0,996

 

Таблица 5

 

t1	h1	t2	h2	t3	h3	t4	h4	t5	h5	t6	h6
0,100	-0,024	0,063	0,134	0,038	0,332	0,031	0,113	0,012	-0,134	0,005	-0,092
0,200	-0,047	0,125	0,259	0,077	0,637	0,063	0,219	0,023	-0,259	0,010	-0,179
0,300	-0,067	0,188	0,366	0,115	0,918	0,094	0,310	0,035	-0,370	0,015	-0,258
0,400	-0,086	0,250	0,446	0,154	1,141	0,125	0,382	0,047	-0,472	0,019	-0,324
0,500	-0,101	0,313	0,497	0,192	1,313	0,156	0,434	0,058	-0,550	0,024	-0,377
0,600	-0,113	0,375	0,526	0,231	1,430	0,188	0,462	0,070	-0,608	0,029	-0,415
0,700	-0,122	0,438	0,529	0,269	1,489	0,219	0,470	0,081	-0,644	0,034	-0,438
0,800	-0,129	0,500	0,513	0,308	1,505	0,250	0,462	0,093	-0,666	0,039	-0,451
0,900	-0,132	0,563	0,488	0,346	1,483	0,281	0,444	0,105	-0,672	0,044	-0,452
1,000	-0,134	0,625	0,459	0,385	1,439	0,313	0,421	0,116	-0,667	0,049	-0,447
1,100	-0,135	0,688	0,433	0,423	1,391	0,344	0,398	0,128	-0,655	0,053	-0,438
1,200	-0,135	0,750	0,415	0,462	1,327	0,375	0,380	0,140	-0,641	0,058	-0,425
1,300	-0,136	0,813	0,408	0,500	1,277	0,406	0,368	0,151	-0,626	0,063	-0,413
1,400	-0,136	0,875	0,409	0,538	1,244	0,438	0,364	0,163	-0,614	0,068	-0,404
1,500	-0,136	0,938	0,420	0,577	1,227	0,469	0,368	0,174	-0,603	0,073	-0,396
1,600	-0,137	1,000	0,437	0,615	1,223	0,500	0,378	0,186	-0,599	0,078	-0,392
1,700	-0,138	1,063	0,453	0,654	1,232	0,531	0,390	0,198	-0,595	0,083	-0,391
1,800	-0,139	1,125	0,468	0,692	1,249	0,563	0,402	0,209	-0,595	0,087	-0,391
1,900	-0,140	1,188	0,477	0,731	1,274	0,594	0,413	0,221	-0,596	0,092	-0,393
2,000	-0,141	1,250	0,478	0,769	1,291	0,625	0,420	0,233	-0,596	0,097	-0,395
2,100	-0,142	1,313	0,475	0,808	1,309	0,656	0,422	0,244	-0,596	0,102	-0,396
2,200	-0,142	1,375	0,465	0,846	1,318	0,688	0,419	0,256	-0,596	0,107	-0,396
2,300	-0,142	1,438	0,455	0,885	1,322	0,719	0,414	0,267	-0,595	0,112	-0,396
2,400	-0,143	1,500	0,443	0,923	1,325	0,750	0,406	0,279	-0,593	0,117	-0,396
2,500	-0,143	1,563	0,434	0,962	1,320	0,781	0,398	0,291	-0,592	0,121	-0,396
2,600	-0,143	1,625	0,430	1,000	1,316	0,813	0,392	0,302	-0,591	0,126	-0,396
2,700	-0,143	1,688	0,429	1,038	1,313	0,844	0,387	0,314	-0,590	0,131	-0,396
2,800	-0,143	1,750	0,434	1,077	1,310	0,875	0,386	0,326	-0,591	0,136	-0,396
2,900	-0,143	1,813	0,441	1,115	1,307	0,906	0,388	0,337	-0,593	0,141	-0,398
3,000	-0,143	1,875	0,450	1,154	1,303	0,938	0,391	0,349	-0,595	0,146	-0,400
3,100	-0,144	1,938	0,459	1,192	1,301	0,969	0,396	0,360	-0,598	0,150	-0,402
3,200	-0,144	2,000	0,464	1,231	1,300	1,000	0,401	0,372	-0,599	0,155	-0,403
3,300	-0,145	2,063	0,466	1,269	1,301	1,031	0,406	0,384	-0,601	0,160	-0,404
3,400	-0,145	2,125	0,464	1,308	1,300	1,063	0,408	0,395	-0,603	0,165	-0,404
3,500	-0,145	2,188	0,460	1,346	1,296	1,094	0,409	0,407	-0,603	0,170	-0,404
3,600	-0,149	2,250	0,454	1,385	1,296	1,125	0,408	0,419	-0,605	0,175	-0,404
3,700	-0,145	2,313	0,447	1,423	1,294	1,156	0,406	0,430	-0,604	0,180	-0,404
3,800	-0,145	2,375	0,441	1,462	1,291	1,188	0,402	0,442	-0,604	0,184	-0,402
3,900	-0,145	2,438	0,438	1,500	1,290	1,219	0,399	0,453	-0,603	0,189	-0,402
4,000	-0,145	2,500	0,437	1,538	1,290	1,250	0,396	0,465	-0,603	0,194	-0,401
4,100	-0,145	2,563	0,438	1,577	1,292	1,281	0,394	0,477	-0,602	0,199	-0,400
4,200	-0,145	2,625	0,441	1,615	1,296	1,313	0,393	0,488	-0,602	0,204	-0,400
4,300	-0,145	2,688	0,449	1,654	1,300	1,344	0,395	0,500	-0,602	0,209	-0,400
4,400	-0,146	2,750	0,455	1,692	1,300	1,375	0,396	0,512	-0,602	0,214	-0,400
4,500	-0,146	2,813	0,460	1,731	1,305	1,406	0,399	0,523	-0,602	0,218	-0,400

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

По графику h(t) скорректированной системы (рис. 9) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы – время регулирования t_р, относительное перерегулирование σ, частоту колебаний ω (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

период колебаний Т=0,35 с, число колебаний N=0,5

Относительное перерегулирование:

Следовательно относительная величина перерегулирования увеличилась по сравнению с заданной, а значит время регулирования должно уменьшится. Чтобы определить время регулирования нужно знать e. Теоретически считается, что переходной процесс длится бесконечно, но на практике считают, что он заканчивается, как только отклонение регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать нормы:

.

Тогда время регулирования t_р = 0,66 с, что меньше по заданию.