Критерий устойчивости Михайлова

Российский ученым. Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа исп. характер-кое ур-ние замкнутой с-мы путем подстановки p=jω получают аналитич. выражение вектора M(jω): M(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1+...+a_n. Кот. явл. комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(jω) при изменении часты от 0 до + . Оценка устойчивости системы осущ. по углу поворота годографа при изменении частоты 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω). Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jω) при изменении от 0 до + равнялось n , т.к. m=0 для обеспечения устойчивости с-мы.

Критерий Михайлова: система устойчива, если годограф Михайлова M(jω) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в . Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной.

Характеристические кривые (АФЧХ) систем: устойчивых (а), на границе устойчивости (б), не устойчивых (в)

Критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы оценить устойчивость системы. Он позволяет определить устойчивость замкнутой системы по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировка критерия для случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива. В первом случае критерий устойчивости формулируются так: САУ, которая устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (-1, j0).
На рис. показаны АФЧХ статических систем: с пометкой 1 - для устойчивых систем, 2 - на грани устойчивости, 3 - неустойчивых систем. АФЧХ статических систем начинаются с положительной полуоси при = 0, а заканчивается в начале координат при = 0.

Передаточн. функция разомкнутой с-мы:

и ф-ция разомкнутой системы:

Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин: .

Помимо исследования устойчивости, можно оценить и некоторые качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости.

Запасы устойчивости

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности с-мы от границы устойчивости. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе ∆φ и запас устойчивости по амплитуде ∆G (рис 1).

Запас устойчивости по фазе определяется величиной ∆φ, на кот. должно возрасти запаздывание по фазе в с-ме с частотой среза, чтобы с-ма оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде опр. величиной ∆G допустимого подъема ЛАЧХ, при кот. с-ма окажется на границе устойчивости. Т.е., запас по амплитуде представляет собой запас по коэф. передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению: Для выч. запаса устойчивости по амплитуде необходимо по любому из критериев устойчивости опр-ть kгр. При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале опр. частоту среза из ур-ния и затем найти . Запас устойчивости по фазе будет равен: При наличии частотных характеристик запасы устойчивости отсчитываются прямо с графиков. Помимо логарифмических характеристик, с этой же целью можно использовать и АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис2. Для определения запаса уст-ти по фазе нужно провести луч из начала коор-т через точку АФЧХ, для кот. выполняется условие . Для нахождения этой точки графически следует провести R=1. Угол и будет ∆φ. Запас устойчивости по амплитуде хар-т удаленность точки АФЧХ от границы устойчивости, т.е. от точки с координатами - 1,j0. Следовательно,