Устойчивость замкнутой импульсной системы и ее предельный коэффициент

Определим устойчивость замкнутой САУ и предельный коэффициент усиления ():

По критерию Найквиста:

Так как АФХ охватывает точку с координатами (-1,j0), а разомкнутая импульсная САУ находится на границе устойчивости, то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является неустойчивой.

Предельный коэффициент можно определить согласно следующему соотношению:

где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном -180⁰.

По критерию Гурвица:

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование (относительно сигнала y):

Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

После преобразований, из последнего соотношения получим:

Так как характеристическое уравнение устойчивой системы 3-го порядка имеет все положительные коэффициенты, то рассматриваемая система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ при представим следующим образом:

.

Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда, после преобразований, получим:

Так как для САУ 3-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения и выполнению неравенства a_1*a₂-a_0*a₃>0, где a₀= ; a₁= ;

a₂= ; a₃= , которое выполняется,

то из коэффициента при старшей степени получаем

На основе необходимого и достаточного условия устойчивости системы (в плоскости “Z”):

Найдем корни характеристического уравнения замкнутой системы:

.

Корни, равные (-46,986; 0,9790; 0,9907) выходят из окружности единичного радиуса, значит, замкнутая система неустойчива.

Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для получим, что:

Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:

, т.е. – значит, замкнутая САУ является устойчивой.

Переходной процесс на выходе замкнутой ИСАУ (x_p(t))

Построим переходной процесс на выходе замкнутой импульсной САУ x_p(t) при .

Для этого найдем дискретную передаточную функцию прямой цепи заданной системы, т.е. =

 

Запишем эту передаточную функцию относительно аргумента z и разделим числитель и знаменатель на . Тогда

Переходной процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :

Рис. 18

 

Кинетическая и статическая ошибки замкнутой ИСАУ (x_уст=x_y-y):

Передаточная функция системы относительно ошибки равна:

Тогда статистическая ошибка при :

Кинетическая ошибка имеет место, когда входной является функция, изменяющаяся по линейному закону:

или

Дискретное преобразование Лапласа указанного сигнала:

С учетом этого кинетическая ошибка будет равна:

Моделирование Импульсной САУ в Matlab (Simulink)

Смоделируем импульсную систему в Matlab (Simulink). Схема модели представлена на рис. 19, а переходная функция - на рис.20.

Рис.19

Рис.20

Сравнение рис.18 и 20 показывает, что сигналы на выходе системы в дискретные моменты времени совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

 

 

Варианты расчетных заданий

Для каждого из указанных в таблице 2 вариантов необходимо:

1. Преобразовать исходную структурную схему к типовому виду (Рис. 7); определить непрерывную передаточную функцию приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы ;

2. По найти дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы ;

3. Построить годограф разомкнутой импульсной САУ:

a) По выражению ;

b) По выражению годографа

Период работы импульсного элемента Т_и=0,01с

4. Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления:

a) По критерию Найквиста;

b) По критерию Гурвица;

c) По корням характеристического уравнения

5. Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ (относительно выходного сигнала Xp(t).

6. Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ (относительно сигнала y(t).

7. Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученными моделированием в Matlab (Simulink).

 

 

 

Таблица 2

№ п/п	Схема САУ № рис.	Тип ИЭ	Передаточные функции звеньев, входящих в состав САУ
№	t	W1(p)	W2(p)	W3(p)	W4(p)
	1а	6а					–
	1а	6а					–
	1а	6а					–
	1а	6а					–
	1б	6а					–
	2б	6а					–
	2б	6а					–
	2б	6а					–
	1в	6а					–
	1в	6а					–
	1в	6б	»0				–
	1б	6б	Ти				–
	1б	6б	Ти				–
	2б	6б	»0				–
	2б	6б	Ти				–
	2б	6б	»0				–
	1а	6б	Ти				–
	1а	6б	»0				–
	1а	6б	Ти			Продолжение Таблицы 2	–
	1а	6б	Ти				–
	1в	6а					–
	1в	6б	Ти				–
	1в	6б	»0				–
	1в	6а					–
	2а	6а					–
	2а	6б	Ти				–
	2а	6а					–
	2а	6а	»0				–
	2а	6а					–
	2а	6а	»0				–
	2а	6а					–
	2а	6б	»0				–
	2б	6а					–
	2б	6б	»0				–
	2б	6а					–
	2б	6б	»0				–
	2б	6а					–
	2б	6б	Ти		Продолжение Таблицы 2		–
	2б	6а					–
	2б	6б	»0				–
	2в	6а					–
	2в	6б	Ти				–
	2в	6а					–
	2в	6б	Ти				–
	2в	6а					–
	2в	6б	Ти				–
	2в	6а					–
	2в	6б	»0				–
	3а	6а					–
	3а	6б	»0				–
	3а	6а					–
	3а	6б	»0				–
	3а	6а					–
	3а	6б	»0				–
	3а	6а					–
	3а	6б	Ти				–
	1а	6а				Продолжение Таблицы 2	–
	1а	6б	»0				–
	1а	6а					–
	1а	6б	»0				–
	1а	6а					–
	1а	6б	»0				–
	1а	6а					–
	1а	6б	Ти				–
	3б	6а					–
	3б	6б	Ти				–
	3б	6а					–
	3б	6б	Ти				–
	3б	6а					–
	3б	6б	Ти				–
	3б	6а					–
	3б	6б	Ти				–
	3в	6а					–
	3в	6б	Ти				–
	3в	6а					–
	3в	6б	»0				–
	3в	6а				Продолжение Таблицы 2	–
	3в	6б	Ти				–
	3в	6а					–
	3в	6б	Ти				–
	4а	6а
	4а	6б	Ти
	4б	6а
	4б	6б	»0
	4б	6а
	4б	6б	Ти
	4б	6а
	4б	6б	»0
	1а	6а					–
	1а	6б	Ти				–
	1а	6а					–
	1а	6б	»0				–
	1а	6а					–
	1а	6б	Ти				–
	3в	6а					–
	3в	6б	Ти				–
	5а	6а				Продолжение Таблицы 2
	5а	6б	»0
	5а	6а
	5а	6б	Ти
	5а	6а				0.5
	5а	6б	»0
	5б	6а					–
	5б	6б	Ти				–
	5б	6а					–
	5б	6б	Ти				–
	5б	6а					–
	5б	6б	»0				–
	5б	6а					–
	5б	6б	Ти				–
	5б	6а					–
	5б	6б	»0				–
	5в	6а
	5в	6б	Ти
	5в	6а
	5в	6б	»0
	5в	6а				Продолжение Таблицы 2
	5в	6б	Ти
	5в	6а
	5в	6б	»0

 

Литература

1. Теория автоматического управления. / Под ред. А.В.Нетушила. М.: Высшая школа 1982. 400с.

2. Теория автоматического управления. / Под ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа 1986. 504с.

3. Исследование САУ с использованием прикладного пакета MATLAB. Лабораторный практикум по курсу “Основы автоматического управления”, Т.В.Ягодкина, С.А.Хризолитова, В.М.Беседин, М.: Изд-во МЭИ, 2007. - 89 с

4.. Основы теории импульсных и цифровых систем. Учебное пособие, Коломейцева М.Б., Беседин В.М., Ягодкина Т.В., Издательский Дом МЭИ, 2007. 106 с.

5. Применение Mathcad для решения задач теории автоматического управления. Учебное пособие по курсу «Основы теории управления», Т.В. Ягодкина, С.А. Хризолитова, О.А. Бондин, М.:Изд-во МЭИ, 2004. – 52 с.

[1] Если импульсная САУ при заданном коэффициенте усиления окажется неустойчивой, то построение переходного процесса и определение статической и кинетической ошибок следует осуществить для системы с коэффициентом усиления, как минимум, в 1,5¸2 раза меньше предельного.

[2] Удобнее эти преобразования делать в Mathcad