Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье

Для разложения функции f(t) в ряд Фурье на всей оси 0 t необходимо, чтобы эта функция была периодической. При представлении функции заданной в интервале (-π/2; π/2), в виде ряда Фурье в этом интервале, функция периодически продолжается с периодом Т за пределы этого интервала. В этом случае получающаяся периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы гармоник. Установим, что будет с разложением, если Т→ ∞.

Пусть дана периодическая функция f(t), допускающая в интервале (-Т/2; Т/2) разложение в ряд Фурье т.е.

∆ω=2π/T

или в другой форме

 

где - относительная комплексная амплитуда.

При Т→ ∞ частота первой гармоники разложения f(t) в ряд Фурье:

∆ω=2π/Т → 0.

Однако величина ∆ω является приращением частоты при переходе от одной частоты к соседней. При Т→ ∞ приращение частоты становится величиной бесконечно малой, т.е.

∆ω → dω.

Обозначим через ω часиоту k –ой гармоники, т.е. положим

ω=k∆ω.

Под знаком суммы в правой части (2) величина ω принимает дискретные значения. Если

Т→ ∞ то ω становится непрерывной величиной. В этом случае

V

Функция F(jω) называется преобразованием Фурье функции f(t).Эта функция характеризует спектральный состав функции f(t) и может быть названа также спектральной характеристикой f(t).Используя формулу Эйлера (3) можно представить в виде:

 

 

 

или F(jω) = U(ω)-jV(ω),

где функция U(ω) – четная, а V(ω) – нечетная относительно ω.

Функцию F(jω) можно записать в виде:

где - модуль преобразования Фурье, четная функция.

- аргумент, нечетная функция.

Сравним преобразование Фурье F(jω) c относительной комплексной амплитудой k – ой гармоники F(jk∆ω).

В пределе при Т → ∞ (т.е. при ∆ω → 0) правая часть этого равенства совпадает с правой частью равенства (4), т.е. учитывая, что , найдем

где

Функция F(jk∆ω) даёт при фиксированном k значение относительной амплитуды k- й гармоники разложения периодической функции в ряд Фурье. Если k=0,1,2…,то F(jk∆ω) принимает значения F (jo), F(j∆ω), F(j2∆ω).

Функция F(jω) характеризует закон изменения относительных комплексных амплитуд разложения непериодической функции на сумму гармоник, так как частота ω принимает непрерывный ряд значений, то график F(jω) состоит не из отдельных (дискретных) точек, а является непрерывной кривой.

Интеграл Фурье дает разложение, представляющее собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник бесконечно близки.

Комплексная бесконечно малая амплитуда каждой гармоники, как следует из (5) будет

Амплитуды каждой гармоники в разложении с помощью интеграла Фурье бесконечно малы, поэтому изобразить их на графике не представляется возможным.

Поэтому для того, чтобы использовать спектральное представление и для анализа непрерывных процессов по оси ординат откладывают не амплитуду гармоники А, а значение относительной амплитуды.

Для периодической функции f(t) получится график

т.е.

график, характеризующий среднее значение амплитуды, приходящейся на единицу длины интервала частот. В пределе, при Т→ ∞ функция F(j∆ω) превращается в F (jω) непериодической функции f(t), которая с точностью до постоянного множителя π представляет собой отношение бесконечно малого приращения амплитуды, имеющей место при бесконечно малом приращении частоты к указанному приращению частоты

Аргумент спектральной характеристики argF(jω) = φ(ω) характеризует начальную фазу гармоник разложения непериодической функции f(t), а функция является относительной амплитудой этих гармоник.

Пример. Определить частотные свойства одиночного импульса высотой А и длительностью τ.

Периодически продолжаем функцию с периодом Т и находим коэффициенты a_k и b_k, функция четная b_k=0.

Амплитудно-частотный спектр A_k =│a_k│ будет иметь вид:

 

 

Графически спектр одиночного импульса изобразить нельзя. Построим график функции │F(jk∆ω) │, т.к.

 

 

Первое значение:

При k=0,1,2 … F(jk∆ω) принимает дискретный ряд значений. Через концы отрезков проходит огибающая │F(jω) │, величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до множителя π равна a_k.

Нетрудно видеть, что в отличие от огибающей для частотного спектра a_k кривая │F(jω) │не зависит от уменьшения (увеличения) частотного интервала ∆ω, происходящего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов. При Т → ∞ интервал станет бесконечно малым, однако относительные амплитуды остаются неизменными. В данном примере является действительной. В общем случае она может быть и комплексной.

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Прямое и обратное преобразование Фурье

Совокупность операций, позволяющих по заданной функции f(t) находить соответствующую ей спектральную характеристику F(iω) называется преобразованием Фурье:

Символически формулу (1)будем записывать в виде

Интеграл в правой части (1) как и ранее понимается в смысле главного значения, т.е.

Равенство (1) устанавливает связь между функцией f(t), аргументом которой служит t, и ей соответствующей комплексной функцией F(iω), имеющей в качестве аргумента частоту ω.

Формула интеграла Фурье

позволяет от известной функции F(iω) определить соответствующую ей функцию f(t). На этом основании формулу (3) называют обратным преобразованием Фурье. Символически будем записывать

В ряде задач автоматического регулирования функция f(t) характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого момента времени t, который можно принять за нулевой.

В этом случае f(t) ≡ 0 при t < 0 (1) принимает вид

Преобразование (5) называется прямым односторонним преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и дается равенством

При t= 0, значение правой части (6) равно ;

при t < 0, f(t) ≡ 0

 

СВЯЗЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

Формула

прямого преобразования Лапласа может рассматриваться как результат определенным образом построенного обобщения одностороннего преобразования Фурье.

Пусть, например, f(t) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале 0 ≤ t < ∞, причем f(t) ≡ 0 при t< 0.

Как известно, преобразование Фурье может быть применено к функциям f(t), для которых интеграл существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не удовлетворяют многие функции, используемые при анализе процессов в автоматических системах, например 1(t), Asin(ω t), Acos(ω t), e^αt при α >0, t и др.

Для того чтобы иметь возможность подобную функцию f(t) преобразовать по Фурье, предварительно ее надо умножить на e^-ct где вещественное число С>C₀ выбрано таким образом, чтобы интеграл был бы сходящимся.

Значение С₀ для каждой функции f(t) является вполне определенным. Используя формулу прямого одностороннего преобразования Фурье, будем преобразовывать по Фурье не f(t), а f(t)e^-ct, удовлетворяющую условиям применения этого преобразования.

Введя новую комплексную переменную S=c+jω, получим .

Это выражение представляет собой формулу прямого преобразования Лапласа. Таким образом, преобразование Лапласа является результатом распространения преобразования Фурье на функции, которые, удовлетворяя условиям Дирехле в интервале 0<t< ∞, не удовлетворяют в этом интервале условию абсолютной интегрируемости.

Если F(jω) спектральная х – тика f(t), то функция F(S) комплексной переменой S является спектральной характеристикой затухающей функции времени f(t)e^-ct.

Рассмотрим формулу обратного преобразования Фурье:

Заменим в правой и левой частях этого равенства f(t) на f(t)e^-ct, получим:

Учитывая, что S=e + jω, dω=dS/j, найдём

Это равенство является формулой обратного преобразования Лапласа, т.е. обратное преобразование Лапласа может рассматриваться как развитие обратного преобразования Фурье.

Ранее отмечалось, что представление функции в виде интеграла Фурье соответствует представлению функции в виде суммы бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами, причем частоты гармоник отличаются друг от друга бесконечно мало. Аналогично этому представлению f(t) в виде (*) соответствует представлению этой функции в виде бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих, являющихся колебаниями с бесконечно малыми амплитудами, затухающих по экспоненциальному закону.

Свойства преобразования Фурье аналогичны свойствам преобразования Лапласа.