Использование методов численного интегрирования при разложении функции в ряд Фурье

Разложение функции в ряд Фурье, или гармонический анализ, оказывается нужным во многих чисто практических вопросах машиноведения, электротехники и пр. Но в этих случаях очень редко приходится непосредственно пользоваться формулами Эйлера-Фурье:

для вычисления коэффициентов разложения. Дело в том, что функции, которые нужно подвергнуть гармоническому анализу, обыкновенно задаются таблицей своих значений или графиком. Таким образом, аналитического выражения функции в нашем распоряжении нет; иногда к самому гармоническому анализу прибегают именно для того, чтобы таким путем получить хотя бы приближенное аналитическое выражение для функции. В этих условиях для вычисления коэффициентов Фурье нужно обратиться к приближенным методам. Разумеется, на практике приходится пользоваться лишь немногими первыми членами тригонометрического разложения. Коэффициенты ряда Фурье в большинстве случаев убывают, а с ними быстро падает и влияние далеких гармоник.

Обычно дается (или снимается с графика) ряд равноотстоящих ординат, т.е. ряд значений функции , отвечающих равноотстоящим значениям аргумента x. По этим ординатам коэффициенты можно приближенно вычислить, пользуясь методами изложенными выше. Но вычисления здесь оказываются довольно громоздкими, и для того чтобы упростить и, так сказать, автоматизировать их, придумано много различных приемов, один из которых мы и предлагается.

Можно сделать вывод, что ряды Фурье широко применяются в инженерно-технических расчетах. Они часто встречаются при рассмотрении ряда задач измерительной техники, особенно при исследовании колебательных процессов в измерительных системах, а также при анализе результатов измерений нестационарных параметров. Пример буден приведен при решении нулевого варианта контрольной работы.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите формулу средних прямоугольников для вычисления определенного интеграла

Примерный вариант и образец выполнения

Контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

Задача 1. Разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период .

Решение. Построим график функции

Эта функция f(x) имеет период , одну точку разрыва первого рода x =0 на отрезке , отрезок можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна.

По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда.

.

Найдем по формуле (3)

По формуле (4) найдем аналогичным образом

.

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем или .

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x =0.

= , а на концах отрезка в точках и = .

Ответ.

Построим график S₄(x)

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке сначала по синусам, затем по косинусам.

Решение. Построим график

1. Продолжая эту функцию на промежуток нечетным образом, получим функцию, ряд Фурье для которой составлен в §2, пример 2.

Ряд для такого разложения

Построим S₅(x)

2. Продолжая эту функцию на промежуток четным образом. Построим график

Эта функция f(x) имеет период , четная, продолжена непрерывно.

. Найдем =

Это равенство справедливо во всех точках числовой прямой.

Построим график S₄(x)

Задача3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом Т =6.

Решение. Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем или . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

Можно совместить оба графика на одном чертеже

Отметим близость этих графиков.

Задача4. Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график S₅(x).

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом T =3-1=2, l =1 т.е. , T =2, l =1. Построим эскиз графика этой функции

Ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем или Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек 1 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

 

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: . Построить амплитудно-частотный спектр.

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график.

Проверив выполнение условий Дирихле для функции , переходим к вычислению коэффи­циентов Фурье по формуле .

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, опре­деляется по частям:

;

Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент надо вычислить иначе׃ , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции . В точках разрыва , где k - любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр

Задача 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

Решение. По условию функция – четная, задана на отрезке [0; 2] = [0; l ], следовательно, ее график на промежутке [–2; 0] симметричен заданному графику относительно оси ординат и период функции T = 2 l =4 (длина промежутка [–2; 2]).

Ряд Фурье для четной периодической функции с периодом 2 l имеет вид:

, (1)

где , . (2)

Поскольку вид функции ) неизвестен, для вычисления интегралов используем одну из квадратурных формул – формулу средних прямоугольников:

,

где – середина k -го отрезка разбиения промежутка интегрирования [ a; b ], k = 1, 2, …, m, h – длина шага разбиения промежутка интегрирования: .

Возьмем m = 10, , т.е. разобъем отрезок [0; 2] на 10 равных частей точками и считаем с графика значения функции в серединах полученных отрезков. Чтобы вычислить коэффициенты a ₀, a ₁, a ₂, a ₄ для первых 4 гармоник разложения функции в ряд Фурье по формулам (2), построим таблицу значений функции f (x) и в полученных точках:

k	xk-1/2	f (xk-1/2)
	0,1	0,9	0,89	0,86	0,80
	0,3	0,25	0,22	0,15	0,04
	0,5	– 0,25	– 0,18		0,18
	0,7	– 0,4	– 0,18	0,24	0,40
	0,9	– 0,2	– 0,03	0,19	0,09
	1,1	0,2	– 0,03	– 0,19	0,09
	1,3	0,6	– 0,27	– 0,35	0,59
	1,5	0,85	– 0,60		0,60
	1,7	0,9	– 0,80	0,53	– 0,14
	1,9		– 0,99	0,95	– 0,89
	3,85	– 1,97	2,38	1,76

Вычислим коэффициенты ряда a ₀, a ₁, a ₂, a ₄.

;

 

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (1) и получаем аппроксимацию функции частичной суммой ряда s ₃(x):

 

Для сравнения с функцией f (x) построим на промежутке [0; 2] график заданной функции f (x) и график полученной аппроксимации :

 

Если в аппроксимацию s _n(x) включить сумму большего числа гармоник, например, 5, то графики s ₅(x) и функции f (x) практически совпадают:

 

Ответ: , .

 

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье»

Задача 1.

Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n =4.

№	Функция	№	Функция

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную формулой на отрезке , сначала по синусам, затем по косинусам. Построить график и частичных сумм для n =4.

№	Функция	№	Функция
	f(x)=2x-1		f(x)=x-4
	f(x)=x^2-1		f(x)=x^2+2
	f(x)=-x-1		f(x)=-x-3
	f(x)=x^2+1		f(x)=x^2-3
	f(x)=3x-2		f(x)=0.5x-1

 

Задача3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом Т =2 l. Построить график частичной суммы при n=5.

 

№	Функция	T	№	Функция	T
	f(x)=x+4			f(x)=2x+1
	f(x)=-x+4			f(x)=2x-1
	f(x)=2x+4			f(x)=3x+4
	f(x)=x+1			f(x)=3x-2
	f(x)=-x+2			f(x)=-3x-1

Задача4 Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график частичной суммы S₄(x).

№	Функция	№	Функция

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: , . Построить амплитудно-частотный спектр.

№	Функция	№	Функция

Задача 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; l ] (получить первые гармоники разложения).

 

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

1. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2,5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 3] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 4] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

 

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

9. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие.- 22-изд., перераб.- СПб., Изд-во «Профессия», 2005.-432с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.