Равномерная сходимость функциональных рядов

Сходящийся в некотором промежутке X функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этом промежутке к , если .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Дан ряд (1.1). Если существует такой знакоположительный сходящийся числовой ряд

(2.1)

что , то ряд (1.1) сходится равномерно в промежутке X.

Ряд (2.1) в этом случае называется мажорирующим рядом или мажорантой, а ряд (1.1) – мажорируемым сходящимся рядом (2.1).

Пример. Установить равномерную сходимость ряда на любом отрезке.

Ñ Рассмотрим ряд . Он является знакоположительным, сходящимся (обобщенный гармонический, ). Для справедливо неравенство

. Это значит, что ряд мажорируем на , а значит сходится равномерно на любом отрезке.#

Пример. Показать, что ряд сходится равномерно на [-1,1].

Ñ Для значений очевидно . Ряд - знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на [-1, 1].#

Задачи для самостоятельного решения

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках.

20. , . 21. , [-3, 3]. 22. .

23. , . 24. , [0, 4].

 

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Теорема 2. Если члены ряда (1.1) – функции непрерывные в некотором промежутке X и ряд сходится в этом промежутке равномерно, то сумма его - функция также непрерывная в X.

Теорема 3. Если члены ряда (1.1) –функции непрерывные в X и ряд сходится равномерно в X, то ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке . Иначе говоря: .

Теорема 4. Если 1) ряд (1.1) сходится в некотором промежутке X к S (x);

2) - функции непрерывные в X. 3) Ряд сходится равномерно в X, то ряд (1.1) можно почленно дифференцировать в каждой точке промежутка X.

Т.е. .

Пример. Исходя из соотношения ,найти сумму ряда .

Ñ Т.к. члены ряда непрерывны в и ряд сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса (теорема1): , т.е. ряд мажорируем сходящимся рядом , то ряд можно почленно интегрировать на , т.е. менять местами символы и

.#

12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Степенным рядом называется ряд вида

(4.1)

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (4.1) сходится в интервале . R называется радиусом сходимости ряда (4.1).

Если R = 0, то ряд (4.1) сходится только в точке x = 0. Если , то ряд (4.1) сходится на всей числовой оси. Если , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0.

Более общий вид степенного ряда:

. (4.2)

Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки : .

Теорема 5. На всяком отрезке ряд (4.1) сходится равномерно.

Теорема 6. Степенной ряд (4.1) можно почленно интегрировать на любом отрезке .

Т.о., если .

Теорема 7. Ряд (4.1) можно почленно дифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

.

Пример. Найти сумму ряда

Ñ Обозначим сумму этого ряда через :

Интервал сходимости этого ряда (-1, 1). На основании теоремы 7 его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала (-1, 1):

Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если , то , откуда . Зная, что .#

Пример. Найти сумму ряда

Ñ Обозначим сумму ряда через :

Этот ряд сходится в интервале (-1, 1). На основании теоремы 6 его можно почленно интегрировать на любом отрезке .

. Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для которой . Таким образом, . Продифференцируем обе части этого равенства: (производная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования по этому пределу). .

Итак, . #

Задачи для самостоятельного решения

Найти сумму ряда в № 25-31.

25. 26.

27. 28. 29.

30. 31. Исходя из соотношения , найти сумму ряда: а) ; б) . 32. Доказать, что ряд сходится равномерно на , но что его нельзя дифференцировать ни в какой точке этого интервала.

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД

ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

Пусть функция имеет в т. и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд

(5.1)

называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т. ряд сходится и имеет суммой f (x), т.е.

,

то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т. (или по степеням ). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Теорема 8. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы .

- остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: ,

Теорема 9. Если имеет в некотором промежутке, содержащем т. , производные всех порядков, для которых , то при и значит разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

То же самое в символической записи:

.

При разложении в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: .

2) Использование готовых разложений:

.

Пример. Разложить в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2.

Ñ Решим эту задачу двумя способами.

I способ. Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:1)

;

……………………………………………………

……………………………………………………

Вычислим найденные производные в т. x = 2:

…,

,…

Составим формально ряд Тейлора:

(5.2)

б) Найдем область сходимости ряда (5.2), используя признак Даламбера:

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (5.2) сходится на всей числовой оси: .

в) Докажем, что при всех x ряд (5.2) сходится к , для чего достаточно показать, что при :

при

. Как результат решения задачи можем записать:

, .

II способ. Разложим в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем следующим образом:

.

В ряд Маклорена для cos x

(5.3)

справа и слева вместо x подставим , получим:

; (5.4)

(т.к. в (5/3) #

При разложении функции в ряд часто используют почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена .

Ñ Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию , для чего в разложении заменим x на .

.

Поэтому (получившийся ряд сходится и в граничных точках). #

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Следующие функции разложить в ряд Маклорена

33. ; 34. 35. ; 36. ; 37. ; 38. ;

39. ; 40. . 41. ; 42. ; 43. .

44. ; 45. ; 46. ; 47. .

Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности т. .

Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.

48. . 49. . 50. . 51. .

52. . 53. . 54. .

55. . 56. .

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Если некоторое число S разложено в ряд

(6.1)

и ,

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

.

Как произвести оценку погрешности?

1)Если ряд (6.1) – знакочередующийся, то остаток D имеет знак своего первого члена и .

2) Если ряд (6.1) – знакоположительный, то остаток D оценивают либо с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка и оценивают остаток ряда (6.1) суммой найденного ряда.

Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как члены ряда

могут и не быть десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже нужно учесть.

Пример. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно положить ?

Ñ Ошибка будет суммой знакоположительного ряда

. (6.2)

а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (6.2) членами геометрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (6.2)

.

б) оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена формулы Маклорена

. В нашем случае

. #

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 (предполагаем, что ).

Ñ .

Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]:

(6.3)

Получили знакочередующийся ряд. Если для вычисления интеграла взять 4 члена ряда (6.3), то ошибка , которая получается за счет отбрасывания членов ряда, начиная с пятого, не будет превосходить первого из отброшенных членов, т.е. . Вычисления нужно вести с 4 знаками после запятой, тогда ошибка , которая получается при обращении II, III, и IV членов ряда (6.3) в десятичные дроби будет меньше . Общая ошибка . . Результат округлен до III знака после запятой. #

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Ñ Т.к. x = 0 не является особой точкой для данного дифференциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда

(6.4)

Продифференцируем ряд (6.4) дважды:

. (6.5)

Подставим в уравнение вместо и соответственно ряды (6.4) и (6.5):

или

.

Приравнивая коэффициенты при всех степенях x к нулю, получим: .

, и т.д.

#

Пример. Применяя метод последовательных дифференцирований, найти 5 членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения

при начальных условиях .

Ñ Точка x = 0 не является особой точкой данного дифференциального уравнения, поэтому решение можно искать в виде:

(6.6)

(разложение в окрестности x = 0!). Здесь .

Из уравнения .

Из уравнения

,

,

.

Подставим в (6.6) : или #

Задачи для самостоятельного решения

57. Вычислить приближенное значение , взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена функции , оценить погрешность.

58. Вычислить приближенное значение , взяв 3 члена разложения в ряд Маклорена функции , оценить погрешность.

Вычислить приближенно с указанной степенью точности D.

59. 60. 61.

62. 63. . 64.

Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001.

65. 66. . 67. 68. .

69. Вычислить приближенно , взяв 3 первых члена разложения подынтегральной функции в ряд. Оценить погрешность.

70. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям:

.

71. Записать в виде степенного ряда частное решение дифференциального уравнения .

Записать в виде степенного ряда общее решение дифференциального уравнения.

72. (шесть первых членов)

73. . 74. .

75. Найти 3 члена разложения в ряд частного решения уравнения

Ответы к задачам главы 12

1. [-1; 1] 2. (-1; 1) 3. 4. (-2;2) 5. 6.

7. 8. {0} 9. 10. 11. 12.

13.[-6;-4] 14. 15. 16.

17. 18. 19.

25. 26. 27.

28. . 29. 30.

31. a) б) 33.

34. 35. 36.

37. 38.

39.

40. 41.

42. 43.

44. 45.

46.

47. 48.

49.

50. 51.

52. , 53.

54. 55.

56. 57. 1,39, D=0,01 58. 0,3090, D=0,0001 59. 0,3679 60. 0,9848 61. 4,309 62. 3,079 63. 1,609 64. 3,14159 65. 0,245 66. 0,508

67. 0,481 68. 2,835 69. 0,3230, D=0,0001

70.

71.

72.

73.

74.

75.

Г Л А В А 13

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕРАЛ ФУРЬЕ