Числовые ряды. Основные теоремы о сходимости

Пусть дана последовательность чисел а₁,а₂,а₃,…,а_n-1,a_n.Сумма этой числовой последовательности называется числовым рядом.

Сумма конечного число членов ряда S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃ … называется частичными суммами, если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся. Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд расходящийся и не имеет суммы.

Отбросим конечное число первых членов ряда и получим n-ый остаток ряда (r_n).

Теорема: для сходящегося ряда предел остатка равен 0

Теорема «Необходимый признак сходимости ряда»: общий член сходящегося ряда стремится к нулю . Если же предел не стремится к нулю, то ряд расходится

Теорема: если ряд сходится и сумма его равна S, то ряд (где с – некоторая постоянная) тоже сходится и сумма его равна cS.

Теорема: если сходятся ряды и , и суммы их равны соответственно S_a и S_b, то ряд тоже сходится, причем сумма его равна S_a+S_b

 

Положительные числовые ряды. Признак Коши и Деламбера.

Положительным называется ряд, члены которого неотрицательны, то есть a_n≥0

Для того, чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху

Признак Деламбера: если члены последовательности ряда a_n таковы, что существует предел , то при D<1 ряд сходится, при D>1 ряд расходится, при D=1 требуется дополнительное исследование.

Признак Коши: если члены ряда a_n таковы, что существует предел , то при К<1 ряд сходится, при K>1 ряд расходится, при K=1 требуется дополнительное исследование.

 

18. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Ряд вида a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+… (1), где a_n≥0 называется знакочередующимся

Признак Лейбница: Если члены ряда таковы, что: 1)каждый следующий, меньше предыдущего; 2) , то ряд (1) сходится, причем сумма его последовательности меньше а₁

Рассмотрим ряды с членами произвольных знаков (1), с каждым рядом можно связать положительный ряд, состоящий из модулей членов данного ряда (2)

Если сходится ряд из модулей (2), то сходится ряд (1)

Ряд (1) называют абсолютно-сходящимся, если ряд (2) сходится.

Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называют условно-сходящимся

 

Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.

Функциональным называется ряд, члены которого являются функциями u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= (1)

Областью определения ряда (1) называется область определения функции. Для каждой фиксированной точки х₀ из области определения ряда получаем числовой ряд: . Если этот ряд сходится, то х₀ – точка сходимости ряда (1), если расходится, то х₀ – точка расходимости ряда (1).

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Частичные суммы ряда (1) тоже являются функциями. Суммой ряда называется функция, определенная в области сходимости и определенная следующим образом:

Сходящиеся функциональные ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам сходящихся числовых рядов.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд сходится равномерно.

2.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и

2. Частичные суммы ряда равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .

2. Ряд равномерно сходится.

 

Степенные ряды

Степенным называется функциональный ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿ+…= (1)

Теорема Абеля: если ряд (1) сходится в т.х₀, то он сходится абсолютно для всех х, таких что 0≤|x|≤|x₀|

О радиусе сходимости: пусть ряд (1) сходится не только при х₀, но и не на всей числовой прямой, тогда существует положительное число R, такое что для всех х принадлежащем интервалу от –R до R ряд сходится, и для всех х не принадлежащих отрезку от –R до R расходится, число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по формулам:

1)

2) если существует предел =D, то R=1/D

Свойства:

1) Степенной ряд внутри интервала сходимости сходится равномерно

2) Суммой степенного ряда является функция, непрерывная внутри интервала сходимости

3) Пусть внутри интервала от –R до R степенной ряд сходится, тогда, для любого отрезка от 0 до х, принадлежащему этому интервалу, степенной ряд можно почленно интегрировать