Интервал и радиус сходимости

 

Их теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит их точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (3.3) расходится.

Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом, - это такое число, что при всех , для которых , ряд (3.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рисунок).

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

 

В частности, когда ряд (3.3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же ряд (3.3) сходится при всех значениях (т.е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

 

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых

.

Ряд, составленный из модулей членов ряда (3.3), расходится при тех значениях , для которых .

Таким образом, для ряда (3.3) радиус сходимости

. (3.4)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно получить, что

. (3.5)

 

Замечания.

1. Если , то ряд (3.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .
2. Если дан степенной ряд (3.2), то его радиус сходимости определяется также по формулам (3.4) или (3.5), а интервал сходимости будет интервал с центром в точке : .

 

Пример 3.3. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Решение. I способ.

Чтобы найти радиус сходимости воспользуемся формулой (3.4). По условию

и .

Тогда

.

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

II способ.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера:

и .

Тогда

Ряд сходится по признаку Даламбера, если . Тогда

Û Û .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

,

Пример 3.4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

Из примера 3.3. имеем следующий интервал сходимости .

 

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид .

Данный ряд является знакочередующимся рядом. Для исследования на сходимость используем признак Лейбница.

а) - выполняется;

б) - выполняется

Значит, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Поэтому точку включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. Он расходится как ряд Дирихле при . Поэтому точку не включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал .

,

Пример 3.5. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

I способ.

Чтобы найти радиус сходимости воспользуемся формулой (3.5). По условию

и .

Тогда

.

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

II способ.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

По радикальному признаку Коши ряд сходится, если . Тогда

Û Û .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид

.

Данный ряд является знакочередующимся рядом. Для исследования на сходимость используем признак Лейбница.

а) - не выполняется;

Значит, знакочередующийся ряд расходится по признаку Лейбница. Поэтому точку не включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. [Радикальный признак Коши не подходит, так как ]. Воспользуемся достаточным признаком расходимости ряда.

Ряд расходится. Поэтому точку не включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости .

,

Пример 3.6. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. 1. Находим интервал сходимости ряда.

Чтобы найти интервал сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Даламбера:

и ,

 

.

 

По признаку Даламбера . Тогда

Û Û Þ .

Таким образом, интервал сходимости имеет вид .

2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

1) При данный ряд примет вид

.

Данный ряд является знакочередующимся рядом. По признаку Лейбница он сходится. Поэтому точку включаем в область сходимости.

2) При данный ряд примет вид . Это числовой ряд с положительными членами. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Тогда

.

Несобственный интеграл сходится. Значит, и ряд сходится. Поэтому точку включаем в область сходимости.

Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда имеет вид .

,

Пример 3.7. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Находим радиус сходимости по формуле (3.4):

и .

Тогда

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.,

Свойства степенных рядов

 

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

1. Сумма степенного ряда (3.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости .
2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из числе и .
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. Для ряда

при

. (3.6)

1. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Для ряда (7.3) при выполняется равенство

. (3.7)

Ряды (3.6) и (3.7) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

 

Перечисленные свойства остаются справедливыми и для степенных рядов вида (3.2).

 

Пример 3.8. Найти сумму ряда

.

Решение. Найдем интервал сходимости данного ряда. Используя признак Даламбера, получаем

.

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо выполнение следующего равенства:

Û Û .

Таким образом, интервал сходимости есть .

Так как ряд сходится при , то его можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда через , имеем

.

В интервале сходимости полученный ряд есть сумма членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и его сумма . Проинтегрировав ряд из производных на отрезке , где найдем сумму данного ряда:

.

,

 

Ряды Тейлора и Маклорена.