Абсолютная и условная сходимости рядов

 

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Определение 2.2. Числовой ряд , члены которого после любого номера имеют разные знаки, называется знакопеременным.

 

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

 

Теорема 2.2. Пусть дан знакопеременный ряд

. (2.2)

Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда

, (2.3)

то сходится и сам знакопеременный ряд (2.2).

 

Надо отметить, что обратное утверждение неверно: если сходится ряд (2.2), то это не означает, что будет сходиться ряд (2.3).

 

Определение 2.3. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

 

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают рядом свойств, которые сформулируем без доказательства.

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму , то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна (или соответственно ).
3. Под произведением двух рядов и понимается ряд вида:

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависит от порядка записи членов.

 

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда измениться. Например, ряд условно сходится по признаку Лейбница. Пусть сумма этого ряда равна . Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).

Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости числовых рядов с положительными членами, заменяя всюду общий член его модулем.

 

 

Пример 2.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Исходный ряд знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. ряд . Так как , то члены сходного ряда не больше членов ряда Дирихле , который, как известно, сходится. Следовательно, на основании признака сравнения данный ряд сходится абсолютно.,

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1) Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.

1. - выполняется;
2. - выполняется.

Следовательно, исходный ряд сходится.

2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя признак Даламбера

.

По признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных членов, сходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.,

Пример 2.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1) Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.

1. - выполняется;
2. - выполняется.

Следовательно, исходный ряд сходится.

2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя предельный признак сравнения. Рассмотрим гармонический ряд , который расходится.

.

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. ряд, составленный из абсолютных членов, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.,

Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.

1. - выполняется;
2. - не выполняется.

Следовательно, исходный ряд расходится.

,

Пример 2.5. Вычислить сумму ряда с точностью .

Решение. Данный ряд знакочередующийся. По признаку Лейбница этот ряд является сходящимся. Значит, величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также является знакочередующимся рядом, не превосходит первого отброшенного члена (на основании следствия из признака Лейбница).

Нужное число членов найдем путем подбора из неравенства . При последнее неравенство выполняется, значит, если отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая точность будет обеспечена. Следовательно,

.

,

3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

 

Функциональные ряды

 

Определение 3.1. Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида

(3.1)

называется функциональным рядом.

 

Придавая определенные значения , получаем числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 3.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

 

Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .

Пример 3.1. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Область определения функций – это .

Данный ряд является членом геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд сходится, если .

Û Û .

Поэтому область сходимости исследуемого ряда является интервал . Таким образом, .

,

Так как каждому соответствует некоторое число – сумма числового ряда, то указанное соответствие определяет функцию , которая называется суммой ряда (3.1) в области . Сумма функционального ряда в области сходимости определяется равенством

,

где - - я частичная сумма функционального ряда.

В таком случае - есть - й остаток функционального ряда. В области сходимости ряда .

 

Пример 3.2. Найти область сходимости и сумму функционального ряда

.

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех . Таким образом, область сходимости .

В области сходимости данного функционального ряда найдем сумму. По формуле суммы геометрической прогрессии при получаем

, при .

,

 

Степенные ряды

 

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента .

Определение 3.3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (3.2)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, - фиксированное число.

При получаем степенной ряд вида

. (3.3)

 

Ряд (3.2) легко приводится к ряду (3.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (3.3).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (3.2) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству

.

Доказательство. Рассмотрим числовой ряд , который сходится по условию. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Поэтому все члены ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число , что при всех имеет место неравенство .

Запишем ряд (3.3) следующим образом:

,

и составим ряд из абсолютных членов

.

В силу установленного неравенство каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем :

.

Если , то и прогрессия сходится. Поэтому сходится и ряд, составленный из абсолютных величин. А значит, абсолютно сходится ряд (3.3).

,

Несмотря на то, что , мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке сходится абсолютно.

 

Следствие. Если степенной ряд (3.3) расходится в точке , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству

.