Критерий сход знакопост рядов.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Критерий сход знакопост рядов.



{O}знакопост ряд- если "n®an>0 {T}Для того чтобы знакопост ряд a1+a2+…+an+…=Σn=1an (1) сход необх и дост чтобы послед его членов была ограничена сверху {Д} Пусть рад (1) сх т.е limn®%Sn=S т.к ряд знакоположит, то {Sn} не убывает. Sn-Sn-1=an>0Þ Sn>=Sn-1"n тогда из Т о сх монотонной последÞчто послед {Sn} огранич сверху т.к эта последовательность неубываюшь ,то по Т о монотон послед сущь limn®%Sn=S

Интегральн признак сход.

1ò%f(x)dx=limb®%1òbf(x)dx Σn=1f(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)+… {T}Пусть f(x) убывает на [1;%) и неотриц на этом пр тогда несобств интеграл 1ò%f(x)dx и ряд Σn=1f(n) одновременно либо сх либо расх {Д} пусть xÎR любое действ число, тогда сушь натуральное число k такое что k<=x<=k+1 т.к f(x) убываюшь ф-ция то f(k+1)<=f(x)<=f(k) запишем для разных k: проинт нерав по x от k до k+1: kòk+1f(k)dx=f(k) kòk+1dx=f(k) f(k+1)<= kòk+1f(x)dx<=f(k) (1) Запишем (1) для разных k ; k=1 f(2)<= 1ò2f(x)dx<=f(1) ; k=2: f(3)<= 1ò3f(x)dx<=f(2) ; при k=n f(n+1)<= 1ò3f(x)dx<=f(n) сложим : f(2)+f(3)+….+f(n+1)<= 1òn+1f(x)dx<=f(1)+f(2)+….+f(n) или Sn+1-f(1)<= 1òn+1f(x)dx<=Sn (2) {Д}пусть несобст интег 1ò%f(x)dx сходÞ|из опред сход несобств инт|Þ limb®%1òbf(x)dx=I т.к f(x) не отриц то 1òbf(x)dx<=I огранич сверху ф-ция зафиксир число n и будем рассматр в виде b>n+1 тогда 1òn+1f(x)dx<=1òbf(x)dx<=I из (2) получим Sn+1-f(1)<= 1òn+1f(x)dx<=1òbf(x)dx<=I т.е Sn+1<=f(1)+I т.е частные суммы ряда Σn=1f(n) огранич сверху. Из критерия сход знакопост рядовÞряд Σn=1f(n) сходит. (1ò%1/xp p=1 lim1òb1/xp=% расх, при 0<p<1 - сход) {O}общ гарм ряд- Σn=11/np-{расх если 0<p<=1 сх если p>1 }

Призр срав в ф-ме нерав.

{Т} пусть для рядов Σn=1an (1) и Σn=1bn (2) вып нерав-во 0<=an<= bn "n (3) тогда а) если ряд (2) сх то ряд (1) сх б) если ряд (2) расх то ряд (1) расх {Д}а) пусть Σn=1bn сход, тогда по крит. Сход знакопост рядов, его частич сумма огданич сверху Sbn<=I из (3) получаем San<=Sbn<=I где San частичн сумма ряда (1) т.е она также ограничена сверху и по критерию сходим Þ ряд Σn=1an сход. {Д}б) пусть ряд (1) расх докажем что ряд (2) также расх. Если бы ряд (2) сход то по части а) теоремы Þ ряд (1) тоже должен сходится, что наруш услов т.е (2) расход.

Призр срав в ф-ме рав.

{Т}признак срав в пред ф-ме. Пусть для рядов Σn=1an и Σn=1bn выполн усл: an~bn при n®% тогда оба ряда либо сходятся либо расх одинаково. {Д} an~bn при n®% Þlimn®%an/bn=1Þ "e>0®|an/bn-1|<e -e< an/bn-1<e Þ -ebn+bn<an<ebn+bn (1) пусть Σn=1an сход. Из левой части неравенства (1) и из признака срав в ф-ме неравенстваÞ что ряд Σn=1bn(1-e)- сход т.е (1-e)Σn=1bn сходÞ сход ряд Σn=1bn если Σn=1an расход тогда из прав части нерав (1) и из принципа сравн в ф-ме неравÞ ряд Σn=1bn(1+e)-расхÞΣn=1bn расход.

Призн Деламбера ф-ме нерав.

{Т} Σn=1an если вып усл "n an+1/an<=q где qÎ(0 1) то ряд сход а если an+1/an>=1 то ряд расх. {Д}а) пусть an+1/an<=q тогда an+1<=qan<=q2 an-1<=q3an-2<=…<=qnan т.к ряд qn при |q|<1 сходится, то по призн сравн в ф-ме неравенства ряд Σn=1an тоже сходится б) пусть an+1/an>=1 т.е an+1>=an "nÞпослед {an} возрастÞпо следствию из необход признака ряд рясх.

 

 

Призн Деламбера в пред ф-ме.

{Т}Пусть выполняется условие limn®%an+1/an а) если λ<1 то ряд сход. б) если λ>1 то ряд расх. {Д} пусть limn®%an+1/an=λ |an+1/an-λ|<e Þ -e<an+1/an<e Þ λ-e<an+1/an<λ+e (1) а) пусть λ<1 выберим e таким чтобы λ+e<1 тогда an+1/an<λ+e=q<=1 и по признаку Даламбера в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1выберим e так чтобы из (1) an+1/an>λ-e>1 и по признаку деламб в ф-ме нерав ряд расх. Если λ=1 не применим призн.

Признак Коши в ф-ме нерав и в пред ф-ме.

{Т} n√an<=q где qÎ(0 1) тогда ряд сход если n√an>=1 то ряд расх {Д} пусть n√an<=q an<=qn т.к Σn=1qn сход при q<1 то по признаку сравн в ф-ме неравенства ряд сход Пусть n√an>=1Þ an>=1 по следствию из необх признака рад расходится. (в пред ф-ме) Σn=1an пусть вып. Услов limn®% n√an=λ а) если λ<1 ряд сход б) если λ>1 ряд расх {Д} пусть limn®% n√an=λ Þ | n√an-λ|<e Þ λ-e< n√an<λ+eÞ (λ-e)n<an<(λ+e)n а) Пусть λ<1 выберем e так чтобы λ+e<1 тогда по признаку Коши в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1 выберем e так чтобы λ-e>1 тогда по признаку коши ряд расх. λ=/=1.

Абсолют и усл сход рядов.

{O}Знакопеременные ряды Если ряд Σn=1an схоится а ряд Σn=1|an | расход то ряд Σn=1an назыв условно сход рядом Если ряд Σn=1an и ряд Σn=1|an | оба сходятся то ряд Σn=1an наз абсолютно сход рядом. Знакопеременные ряды требуют дот исслед на усл/абс сходимость.

Теорема об абс сход рядов.

{Т}если Σn=1|an | сходится то ряд Σn=1an сх абсолютно. {Д} рассмотрим ряды Σn=1Un и Σn=1Vn где Un=|an|+an/2 Vn=|an|-an/2 можно проверить что Un<=|an| и Vn=<|an| по признаку сравн в ф-ме неравенства т.к ряд Σn=1|an | сход по услов то Σn=1Un и Σn=1Vn также сходятся. an=Un-VnÞ Σn=1an= Σn=1(Un-Vn) по св-ву 1)(см ниже) рядовÞ ряд Σn=1(Un-Vn) сходится, т.е сходится ряд Σn=1an (пример Σn=1sin(n)/n2-см по модулю-дост призн ого- сход абс.) {св-ва} 1) сумма абсолютно сходящегося ряда рвна алгебр сумме его положит м отриц членов. Для усл сход ряда это наверно. 2)В абс сходящемся ряде члены ряда можно переставлять как угодно от этого смма ряда не измениться. В условно сход ряде перестановка членов может изменить сумму ряда или сделать его расх.(пример Σn=1(-1)n1/n – сход условно.)

Знакочеред ряды признак лейбница.

{O}b1-b2+b3-b4+…=Σn=1 (-1)n+1bn (1) где bn>=0 "n т.к это частн случ знакопер ряда, св-ва для знакопер ряда одинак для знакочеред. {O}Признак лейбница Если в ряд (1) {bn} убывает и limn®%bn=0 то ряд (1) сход. {Д} сгрупп ряд (1) так, (b1-b2)+(b3-b4)+… (2) и так b1-(b2-b3)-(b4-b5)+… (3) т.к по усл {bn} убывает т.е bn>=bn+1 Þ bn-bn+1>=0 то в скобках (2) и (3) неотриц члены, (2) Þ S2<=S4<=…<=S2n<=.. (4) (3) Þ S1>=S3>=…>=S2n+1 (5) из (4) и (5) Þ {S2n} возраст и {S2n+1} убывает расмот рав-во S2n+1=S2n+ b2n+1 (6) т.к b2n+1>=0 Þ S2n<=S2n+1 из (4) Þ S2<=S2n<=S2n+1 Þ S2n+1>=S2 "n Þ {S2n+1} имеет предел limn®%S2n+1=α из (5) Þ S1>=S2n+1>=S2n т.е S2n<=S1 т.е {S2n} огренич сверху поэтому limn®%S2n=β из (6) Þ limn®%S2n+1=limn®%S2n+limn®%b2n+1=0 α=β т.е limn®%S2n+1=limn®%S2n=limn®%Sn=S1 т.е ряд сход.

Функц ряды.

{O}функц ряд- Ряд вида Σn=1Un(x) (1) где Un(x) ф-ция опред на [a b] Ряд (1) наз сход если limn®%Sn(х)=S(x) т.е "e>0 $Ne(х):"n>Ne(х)®|Sn(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] если "e>0 $Ne:"n>Ne®|Sn(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] то ряд (1) сход равномерно на [a b] {O}Признак Вейрштрасса равномер сход ряда Если для ряда (1) сушь такой сход числ ряд Σn=1an , что для всех n и "xÎ[a b] вып условие: |Un(x)|<=an то ряд (1) будет сход абс и равномер на [a b].

Форм св-ва равномер сход рядов.

{O}Если ряд Σn=1Un(x) (1) у которого все Un(x) непрер ф-ции на [a b] сход равн на [a b] то сумма ряда будет непрер ф-цией на [a b] 2) если ряд (1) составленный из непрерывных ф-ций на [a b] сх равном на [a b] то такой ряд можно почленно интегрир т.е из Σn=1Un(x) Þ Σn=1aòbUn(x)dx=òbS(x)dx "xÎ[a b] 3) Если ряд (1) сх на [a b] т.е Σn=1Un(x)=S(x) а ряд Σn=1U'n(x) сх равномерно на [a b] то справндливо равенство Σn=1U'n(x)=S'(x)

Степ ряд Т Абеля

{O} Σn=1сn(x-x0) где сn коэфф ряда, а x0 заданное число, так заменой z=x-x0 можно получить более простой ряд Σn=0сnzn то далее ряд Σn=0сnхn (1) {Т}если (1) сходится в точке x0 то он сх абсолютно и равноменрно во всех точках x так что |x|<=q|x0| 0<q<1 Если ряд (1) расх в точке x1 то он расх во всех точках x : |x|>|x1| {Д} Пусть ряд (1) сх в x0 тогда по необх признаку сх ряда получ limn®%сnх0n=0 по Т об огранч сход последоват $M>0:"n®|cnх0n|<=M возмем число x: |x|<=q|x0| 0<q<1 |cnх0n|<=|cnqnх0n|<=Mqn т.к Σn=1qn сх как геом прогрес (0<q<1) то по приз срав в ф-ме нерав ряд Σn=0сnхn сх и равномерн "x:|x|<=q|x0| Пусть ряд (1) расх в x1 докаж что он расх во всех точках x таеих что |x|>|x1| Пусть ряд сх в x : |x|>|x1| тогда по первой части теоремы ряд должен сх в x1 что нарушает усл теоремы Þ ряд расх в x : |x|>|x1| расх -x1 -x0 сход x0 x1 расх Радиус сход R (-R R) интервал сходимости.

Интегр и дофф степ рядов.

{св-ва} 1) ряд Σn=0сnxn в интервале сходимости ряда сход к непр ф-ции 2) ряд Σn=0сnxn на любом отрезке внутри интервала сход, можно почленно дифференц Σn=0сnxn=S(x) Σn=0сnxn+1/n+1= 0òxS(x)dx 3) ряд Σn=0сnxn в интервале сходимости можно почленно дифф

 

Разл ф-ции в степ ряд Ряд тейтора.

Σn=0сnxn=f(x) f(x)=Σn=0сn(x-x0)n в нек окрестн точки x0 f(x)=с01(x-x0)+c2(x-x0)2+c3(x-x0)3+… при x=x0 имеем f(x0)=с0 f'(x)=с1+2с2(x-x0)+c2(x-x0)+3c3(x-x0)2+… x=x0 f'(x0)=с1 f''(x0)=2с2+3*2c3(x-x0)+… x=x0 f''(x0)=2с2 f'''(x0)=3*2c3+… x=x0 f'''(x0)=3*2c3 c0=f(x0) ; c1=f'(x0)/1! ; с2=f''(x0)/2! ;…;сn=fn(x0)/n!, f(x)=Σn=0fn(x0)(x-x0)n/n! Если ряд в правой части сх к ф-ции f(x) то ряд наз рядом тейлора в окресности x0 ф-ла тейлора f(x)=Σn=0fk(x0)(x-x0)n/k!+Rn(x)

 

 

Условие разлож ф-ции в ряд Тейлора.

{Т} Если f(x) и все её произв огранич в x0 то limn®%Rn=0 {Д} Запишем остат член в ф-ме лагранжа. |Rn(x)|=|f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)n+1|<=|из усл ограниц произв ξÎUe(x0) Þ limn®%Rn=0|<=M|x-x0|n+1/(n+1)! Где M>0:"x®|fn+1(x)|<=M доеажим что ряд Σn=0(x-x0)n+1/(x+1)! сходитсяÞпо необх признаку limn®%(x-x0)n+1/(x+1)!=0Þ limn®%Rn=0

Методы разл в ряд Тейлора.

{O}Основ ф-ции ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+...=Σn=0 xn/n! R=% sinx=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)nx2n+1/(2n+1)!+...=Σn=0(-1)nx2n+1/(2n+1)! R=% cosx=1-x2/2!+x4/4!+…+(-1)nx2n/(2n)!+...=Σn=0(-1)nx2n/(2n)! R=% ln(1+x)=x-x2/2+x3/3+…+(-1)n+1xn/n+...=Σn=1(-1)n+1xn/n xÎ(-1 1) (1+x)a=1+ax+a(a-1)x2/2!+…+a(a-1)…(a-k+1)xk/k!+… xÎ(-1 1) при a=-1 (1+x)-1=1/1+x= Σk=0(-1)kxk xÎ(-1 1) (метод замен перемен, предв преобраз, почлен дифф)



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.170.64.36 (0.008 с.)