Критерий сход знакопост рядов.

{O}знакопост ряд- если "n®a_n>0 {T}Для того чтобы знакопост ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) сход необх и дост чтобы послед его членов была ограничена сверху {Д} Пусть рад (1) сх т.е lim_n®%S_n=S т.к ряд знакоположит, то {S_n} не убывает. S_n-S_n-1=a_n>0Þ S_n>=S_n-1"n тогда из Т о сх монотонной последÞчто послед {S_n} огранич сверху т.к эта последовательность неубываюшь,то по Т о монотон послед сущь lim_n®%S_n=S

Интегральн признак сход.

₁ò^%f(x)dx=lim_b®%1ò^bf(x)dx Σ_n=1f(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)+… {T}Пусть f(x) убывает на [1;%) и неотриц на этом пр тогда несобств интеграл ₁ò^%f(x)dx и ряд Σ_n=1f(n) одновременно либо сх либо расх {Д} пусть xÎR любое действ число, тогда сушь натуральное число k такое что k<=x<=k+1 т.к f(x) убываюшь ф-ция то f(k+1)<=f(x)<=f(k) запишем для разных k: проинт нерав по x от k до k+1: _kò^{k+1f(k)dx=f(k)} _kò^k+1dx=f(k) f(k+1)<= _kò^{k+1f(x)dx<=f(k) (1)} Запишем (1) для разных k; k=1 f(2)<= ₁ò²f(x)dx<=f(1); k=2: f(3)<= ₁ò³f(x)dx<=f(2); при k=n f(n+1)<= ₁ò³f(x)dx<=f(n) сложим: f(2)+f(3)+….+f(n+1)<= ₁ò^{n+1f(x)dx<=f(1)+f(2)+….+f(n) или S}_n+1-f(1)<= ₁ò^n+1f(x)dx<=S_n (2) {Д}пусть несобст интег ₁ò^%f(x)dx сходÞ|из опред сход несобств инт|Þ lim_b®%1ò^bf(x)dx=I т.к f(x) не отриц то ₁ò^bf(x)dx<=I огранич сверху ф-ция зафиксир число n и будем рассматр в виде b>n+1 тогда ₁ò^n+1f(x)dx<=₁ò^bf(x)dx<=I из (2) получим S_n+1-f(1)<= ₁ò^n+1f(x)dx<=₁ò^bf(x)dx<=I т.е S_n+1<=f(1)+I т.е частные суммы ряда Σ_n=1f(n) огранич сверху. Из критерия сход знакопост рядовÞряд Σ_n=1f(n) сходит. (₁ò^%1/x^p p=1 lim₁ò^b1/x^p=% расх, при 0<p<1 - сход) {O}общ гарм ряд- Σ_n=11/n^p-{расх если 0<p<=1 сх если p>1 }

Призр срав в ф-ме нерав.

{Т} пусть для рядов Σ_n=1a_n (1) и Σ_n=1b_n (2) вып нерав-во 0<=a_n<= b_n "n (3) тогда а) если ряд (2) сх то ряд (1) сх б) если ряд (2) расх то ряд (1) расх {Д}а) пусть Σ_n=1b_n сход, тогда по крит. Сход знакопост рядов, его частич сумма огданич сверху S_bn<=I из (3) получаем S_an<=S_bn<=I где S_an частичн сумма ряда (1) т.е она также ограничена сверху и по критерию сходим Þ ряд Σ_n=1a_n сход. {Д}б) пусть ряд (1) расх докажем что ряд (2) также расх. Если бы ряд (2) сход то по части а) теоремы Þ ряд (1) тоже должен сходится, что наруш услов т.е (2) расход.

Призр срав в ф-ме рав.

{Т}признак срав в пред ф-ме. Пусть для рядов Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n выполн усл: a_n~b_n при n®% тогда оба ряда либо сходятся либо расх одинаково. {Д} a_n~b_n при n®% Þlim_n®%a_n/b_n=1Þ "e>0®|a_n/b_n-1|<e -e< a_n/b_n-1<e Þ -eb_n+b_n<a_n<eb_n+b_n (1) пусть Σ_n=1a_n сход. Из левой части неравенства (1) и из признака срав в ф-ме неравенстваÞ что ряд Σ_n=1b_n(1-e)- сход т.е (1-e)Σ_n=1b_n сходÞ сход ряд Σ_n=1b_n если Σ_n=1a_n расход тогда из прав части нерав (1) и из принципа сравн в ф-ме неравÞ ряд Σ_n=1b_n(1+e)-расхÞΣ_n=1b_n расход.

Призн Деламбера ф-ме нерав.

{Т} Σ_n=1a_n если вып усл "n a_n+1/a_n<=q где qÎ(0 1) то ряд сход а если a_n+1/a_n>=1 то ряд расх. {Д}а) пусть a_n+1/a_n<=q тогда a_n+1<=qa_n<=q² a_n-1<=q³a_n-2<=…<=qⁿa_n т.к ряд qⁿ при |q|<1 сходится, то по призн сравн в ф-ме неравенства ряд Σ_n=1a_n тоже сходится б) пусть a_n+1/a_n>=1 т.е a_n+1>=a_n "nÞпослед {a_n} возрастÞпо следствию из необход признака ряд рясх.

 

 

Призн Деламбера в пред ф-ме.

{Т}Пусть выполняется условие lim_n®%a_n+1/a_n а) если λ<1 то ряд сход. б) если λ>1 то ряд расх. {Д} пусть lim_n®%a_n+1/a_n=λ |a_n+1/a_n-λ|<e Þ -e<a_n+1/a_n<e Þ λ-e<a_n+1/a_n<λ+e (1) а) пусть λ<1 выберим e таким чтобы λ+e<1 тогда a_n+1/a_n<λ+e=q<=1 и по признаку Даламбера в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1выберим e так чтобы из (1) a_n+1/a_n>λ-e>1 и по признаку деламб в ф-ме нерав ряд расх. Если λ=1 не применим призн.

Признак Коши в ф-ме нерав и в пред ф-ме.

{Т} _n√a_n<=q где qÎ(0 1) тогда ряд сход если _n√a_n>=1 то ряд расх {Д} пусть _n√a_n<=q a_n<=qⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сход при q<1 то по признаку сравн в ф-ме неравенства ряд сход Пусть _n√a_n>=1Þ a_n>=1 по следствию из необх признака рад расходится. (в пред ф-ме) Σ_n=1a_n пусть вып. Услов lim_{n®% n}√a_n=λ а) если λ<1 ряд сход б) если λ>1 ряд расх {Д} пусть lim_{n®% n}√a_n=λ Þ | _n√a_n-λ|<e Þ λ-e< _n√a_n<λ+eÞ (λ-e)ⁿ<a_n<(λ+e)ⁿ а) Пусть λ<1 выберем e так чтобы λ+e<1 тогда по признаку Коши в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1 выберем e так чтобы λ-e>1 тогда по признаку коши ряд расх. λ=/=1.

Абсолют и усл сход рядов.

{O}Знакопеременные ряды Если ряд Σ_n=1a_n схоится а ряд Σ_n=1|a_n | расход то ряд Σ_n=1a_n назыв условно сход рядом Если ряд Σ_n=1a_n и ряд Σ_n=1|a_n | оба сходятся то ряд Σ_n=1a_n наз абсолютно сход рядом. Знакопеременные ряды требуют дот исслед на усл/абс сходимость.

Теорема об абс сход рядов.

{Т}если Σ_n=1|a_n | сходится то ряд Σ_n=1a_n сх абсолютно. {Д} рассмотрим ряды Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n где U_n=|a_n|+a_n/2 V_n=|a_n|-a_n/2 можно проверить что U_n<=|a_n| и V_n=<|a_n| по признаку сравн в ф-ме неравенства т.к ряд Σ_n=1|a_n | сход по услов то Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n также сходятся. a_n=U_n-V_nÞ Σ_n=1a_n= Σ_n=1(U_n-V_n) по св-ву 1)(см ниже) рядовÞ ряд Σ_n=1(U_n-V_n) сходится, т.е сходится ряд Σ_n=1a_n (пример Σ_n=1sin(n)/n²-см по модулю-дост призн ого- сход абс.) {св-ва} 1) сумма абсолютно сходящегося ряда рвна алгебр сумме его положит м отриц членов. Для усл сход ряда это наверно. 2)В абс сходящемся ряде члены ряда можно переставлять как угодно от этого смма ряда не измениться. В условно сход ряде перестановка членов может изменить сумму ряда или сделать его расх.(пример Σ_n=1(-1)ⁿ1/n – сход условно.)

Знакочеред ряды признак лейбница.

{O}b₁-b₂+b₃-b₄+…=Σ_n=1 (-1)ⁿ⁺¹b_n (1) где b_n>=0 "n т.к это частн случ знакопер ряда, св-ва для знакопер ряда одинак для знакочеред. {O}Признак лейбница Если в ряд (1) {b_n} убывает и lim_n®%b_n=0 то ряд (1) сход. {Д} сгрупп ряд (1) так, (b₁-b₂)+(b₃-b₄)+… (2) и так b₁-(b₂-b₃)-(b₄-b₅)+… (3) т.к по усл {b_n} убывает т.е b_n>=b_n+1 Þ b_n-b_n+1>=0 то в скобках (2) и (3) неотриц члены, (2) Þ S₂<=S₄<=…<=S_2n<=.. (4) (3) Þ S₁>=S₃>=…>=S_2n+1 (5) из (4) и (5) Þ {S_2n} возраст и {S_2n+1} убывает расмот рав-во S_2n+1=S_2n+ b_2n+1 (6) т.к b_2n+1>=0 Þ S_2n<=S_2n+1 из (4) Þ S₂<=S_2n<=S_2n+1 Þ S_2n+1>=S₂ "n Þ {S_2n+1} имеет предел lim_n®%S_2n+1=α из (5) Þ S₁>=S_2n+1>=S_2n т.е S_2n<=S₁ т.е {S_2n} огренич сверху поэтому lim_n®%S_2n=β из (6) Þ lim_n®%S_2n+1=lim_n®%S_2n+lim_n®%b_2n+1=0 α=β т.е lim_n®%S_2n+1=lim_n®%S_2n=lim_n®%S_n=S₁ т.е ряд сход.

Функц ряды.

{O}функц ряд- Ряд вида Σ_n=1U_n(x) (1) где U_n(x) ф-ция опред на [a b] Ряд (1) наз сход если lim_n®%S_n(х)=S(x) т.е "e>0 $N_e(х):"n>N_e(х)®|S_n(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] если "e>0 $N_e:"n>N_e®|S_n(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] то ряд (1) сход равномерно на [a b] {O}Признак Вейрштрасса равномер сход ряда Если для ряда (1) сушь такой сход числ ряд Σ_n=1a_n, что для всех n и "xÎ[a b] вып условие: |U_n(x)|<=a_n то ряд (1) будет сход абс и равномер на [a b].

Форм св-ва равномер сход рядов.

{O}Если ряд Σ_n=1U_n(x) (1) у которого все U_n(x) непрер ф-ции на [a b] сход равн на [a b] то сумма ряда будет непрер ф-цией на [a b] 2) если ряд (1) составленный из непрерывных ф-ций на [a b] сх равном на [a b] то такой ряд можно почленно интегрир т.е из Σ_n=1U_n(x) Þ Σ_n=1aò^bU_n(x)dx=ò^bS(x)dx "xÎ[a b] 3) Если ряд (1) сх на [a b] т.е Σ_n=1U_n(x)=S(x) а ряд Σ_n=1U'_n(x) сх равномерно на [a b] то справндливо равенство Σ_n=1U'_n(x)=S'(x)

Степ ряд Т Абеля

{O} Σ_n=1с_n(x-x₀) где с_n коэфф ряда, а x₀ заданное число, так заменой z=x-x₀ можно получить более простой ряд Σ_n=0с_nzⁿ то далее ряд Σ_n=0с_nхⁿ (1) {Т}если (1) сходится в точке x₀ то он сх абсолютно и равноменрно во всех точках x так что |x|<=q|x₀| 0<q<1 Если ряд (1) расх в точке x₁ то он расх во всех точках x: |x|>|x₁| {Д} Пусть ряд (1) сх в x₀ тогда по необх признаку сх ряда получ lim_n®%с_nх₀ⁿ=0 по Т об огранч сход последоват $M>0:"n®|c_nх₀ⁿ|<=M возмем число x: |x|<=q|x₀| 0<q<1 |c_nх₀ⁿ|<=|c_nqⁿх₀ⁿ|<=Mqⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сх как геом прогрес (0<q<1) то по приз срав в ф-ме нерав ряд Σ_n=0с_nхⁿ сх и равномерн "x:|x|<=q|x₀| Пусть ряд (1) расх в x₁ докаж что он расх во всех точках x таеих что |x|>|x₁| Пусть ряд сх в x: |x|>|x₁| тогда по первой части теоремы ряд должен сх в x₁ что нарушает усл теоремы Þ ряд расх в x: |x|>|x₁| расх _{-x1 -x0} сход _{x0 x1} расх Радиус сход R (-R R) интервал сходимости.

Интегр и дофф степ рядов.

{св-ва} 1) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости ряда сход к непр ф-ции 2) ряд Σ_n=0с_nxⁿ на любом отрезке внутри интервала сход, можно почленно дифференц Σ_n=0с_nxⁿ=S(x) Σ_n=0с_nxⁿ⁺¹/n+1= ₀ò^xS(x)dx 3) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости можно почленно дифф

 

Разл ф-ции в степ ряд Ряд тейтора.

Σ_n=0с_nxⁿ=f(x) f(x)=Σ_n=0с_n(x-x₀)ⁿ в нек окрестн точки x₀ f(x)=с₀+с₁(x-x₀)+c₂(x-x₀)²+c₃(x-x₀)³+… при x=x₀ имеем f(x₀)=с₀ f'(x)=с₁+2с₂(x-x₀)+c₂(x-x₀)+3c₃(x-x₀)²+… x=x₀ f'(x₀)=с₁ f''(x₀)=2с₂+3*2c₃(x-x₀)+… x=x₀ f''(x₀)=2с₂ f'''(x₀)=3*2c₃+… x=x₀ f'''(x₀)=3*2c₃ c₀=f(x₀); c₁=f'(x₀)/1!; с₂=f''(x₀)/2!;…;с_n=fⁿ(x₀)/n!, f(x)=Σ_n=0fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n! Если ряд в правой части сх к ф-ции f(x) то ряд наз рядом тейлора в окресности x₀ ф-ла тейлора f(x)=Σ_n=0f^k(x₀)(x-x₀)ⁿ/k!+R_n(x)

 

 

Условие разлож ф-ции в ряд Тейлора.

{Т} Если f(x) и все её произв огранич в x₀ то lim_n®%R_n=0 {Д} Запишем остат член в ф-ме лагранжа. |R_n(x)|=|f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹|<=|из усл ограниц произв ξÎU_e(x₀) Þ lim_n®%R_n=0|<=M|x-x₀|ⁿ⁺¹/(n+1)! Где M>0:"x®|fⁿ⁺¹(x)|<=M доеажим что ряд Σ_n=0(x-x₀)ⁿ⁺¹/(x+1)! сходитсяÞпо необх признаку lim_n®%(x-x₀)ⁿ⁺¹/(x+1)!=0Þ lim_n®%R_n=0

Методы разл в ряд Тейлора.

{O}Основ ф-ции e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+...=Σ_n=0 xⁿ/n! R=% sinx=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! R=% cosx=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! R=% ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+...=Σ_n=1(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n xÎ(-1 1) (1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/2!+…+a(a-1)…(a-k+1)x^k/k!+… xÎ(-1 1) при a=-1 (1+x)^-1=1/1+x= Σ_k=0(-1)^kx^k xÎ(-1 1) (метод замен перемен, предв преобраз, почлен дифф)