Опред ряда частн суммы ряда.

Числ послед и пределы

{O}числ. Послед-отображения мн-ва натуральных чисел N во мн-во действ чисел R, обознач {a_n} или {x_n} {O}предел числ послед {x_n} – если для любой e окресн числа а сошь такой номер N послед, начиная с которого все члены послед наход в e окресн числа а, за пределом окресн может нах лишь конечное число членов последовательности. {lim_n®%x_n=a}={"e>0,$N:"n>=N®|x_n-a|<e} {O} сход послед- имеет конечный предел иначе- расходяшь посл {O}стационарн послед-все её члены равны-{c} limc=c {пример} {qⁿ} |q|<1 доказать lim_n®0qⁿ=0 |qⁿ-0|<eÞ|qⁿ |<e nln|q|<lne n>lne/ln|q| обознач N=[ lne/lnq] –целая часть n>N |qⁿ-0|<eÞlim_n®%qⁿ=0{O}б.б числ послед {x_n}- если для любого M>0 сушь N такая, что для всех n>N®|x_n|>m {T}О связи б.б.п и б.м.п аналогич теореме о связм б.б.фÞ lim_n®%qⁿ при |qⁿ|>1 = % {T}О арифм опер над пред числ послед аналогично. {T}О монотонных последовательностях если "n x_n<=x_n+1, то x_n-возраст, а если x_n>=x_n+1-убывающая. {O} {x_n}-огранич, если $с>0:"n®|x_n|<=c. {T}Монотонная послед сход тогда, когда она ограничена a₁+a₂+…+a_n+… (1) или Σ_n=1a_n наз числовым рядом, где {a_i} числ послед.

Опред ряда частн суммы ряда.

a₁+a₂+…+a_n+… (1) {O}S₁=a₁,S₂=a₁+a₂,S₃=a₁+a₂+a₃,…,S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n… -это частичн суммы ряда (1) Они образ числ послед {S_n} если сушь lim_n®%S_n=S то ряд (1)- сходится и S-его сумма. Иначе ряд расх. (1+q+q²+…+qⁿ+… S=1-qⁿ⁺¹/1-q если |q|<1 lim_n®%qⁿ=0 lim_n®%s_n= lim_n®%1-qⁿ⁺¹/1-q=1/1-q. При q>=1 ряд расх.

Св-ва ряда

1) Если Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n сходятся, то Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n)- сход где где k₁,k₂-пост, причем если A-сумма Σ_n=1a_n и B- сумма Σ_n=1b_n.то k₁A+k₂B- сумма Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) {Д} Σ_n=1a_n сход то lim_n®%S_an=A Σ_n=1b_n cх то lim_n®%S_bn=B т.к частич суммы это конечные суммы то k₁S_an+k₂S_bn тоже частич суммы Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) lim_n®%(k₁S_an+k₂S_bn)=k₁lim_n®%S_an+k₂lim_n®%S_bn=k₁A+k₂B 2) Если Σ_n=1a_n-сх(расх)то ряд Σ_n=m+1a_n-сх (расх) Σ_n=1a_n=S_n+δ δ=Σ_n=m+1a_n S_n= a₁+a₂+…+a_n+… δ=S- S_n- сумма Σ_n=m+1a_n 3) Если ряд Σ_n=1a_n сход то его сходимость на меняется от произвольной группировки его членов без перестановки членов ряда.(1-1+1-1… (1-1)+(1-1)…=0 сход 1-(1-1)-(1-1)=1-расх)

Необх признак сход ряда.

{T} если ряд сходится, то lim_n®%a_n=0 {Д} из опред частн сумм S_n-S_n-1=a_n lim_n®%S_n=S lim_n®%S_n-1=S lim_n®%a_n=0 Следствие: если lim_n®%a_n=/=0 то ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) расх {Д}если бы ряд (1) сход то lim_n®%a_n=0, что противоречит условию.

Критерий сход знакопост рядов.

{O}знакопост ряд- если "n®a_n>0 {T}Для того чтобы знакопост ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) сход необх и дост чтобы послед его членов была ограничена сверху {Д} Пусть рад (1) сх т.е lim_n®%S_n=S т.к ряд знакоположит, то {S_n} не убывает. S_n-S_n-1=a_n>0Þ S_n>=S_n-1"n тогда из Т о сх монотонной последÞчто послед {S_n} огранич сверху т.к эта последовательность неубываюшь,то по Т о монотон послед сущь lim_n®%S_n=S

Интегральн признак сход.

₁ò^%f(x)dx=lim_b®%1ò^bf(x)dx Σ_n=1f(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)+… {T}Пусть f(x) убывает на [1;%) и неотриц на этом пр тогда несобств интеграл ₁ò^%f(x)dx и ряд Σ_n=1f(n) одновременно либо сх либо расх {Д} пусть xÎR любое действ число, тогда сушь натуральное число k такое что k<=x<=k+1 т.к f(x) убываюшь ф-ция то f(k+1)<=f(x)<=f(k) запишем для разных k: проинт нерав по x от k до k+1: _kò^{k+1f(k)dx=f(k)} _kò^k+1dx=f(k) f(k+1)<= _kò^{k+1f(x)dx<=f(k) (1)} Запишем (1) для разных k; k=1 f(2)<= ₁ò²f(x)dx<=f(1); k=2: f(3)<= ₁ò³f(x)dx<=f(2); при k=n f(n+1)<= ₁ò³f(x)dx<=f(n) сложим: f(2)+f(3)+….+f(n+1)<= ₁ò^{n+1f(x)dx<=f(1)+f(2)+….+f(n) или S}_n+1-f(1)<= ₁ò^n+1f(x)dx<=S_n (2) {Д}пусть несобст интег ₁ò^%f(x)dx сходÞ|из опред сход несобств инт|Þ lim_b®%1ò^bf(x)dx=I т.к f(x) не отриц то ₁ò^bf(x)dx<=I огранич сверху ф-ция зафиксир число n и будем рассматр в виде b>n+1 тогда ₁ò^n+1f(x)dx<=₁ò^bf(x)dx<=I из (2) получим S_n+1-f(1)<= ₁ò^n+1f(x)dx<=₁ò^bf(x)dx<=I т.е S_n+1<=f(1)+I т.е частные суммы ряда Σ_n=1f(n) огранич сверху. Из критерия сход знакопост рядовÞряд Σ_n=1f(n) сходит. (₁ò^%1/x^p p=1 lim₁ò^b1/x^p=% расх, при 0<p<1 - сход) {O}общ гарм ряд- Σ_n=11/n^p-{расх если 0<p<=1 сх если p>1 }

Призр срав в ф-ме нерав.

{Т} пусть для рядов Σ_n=1a_n (1) и Σ_n=1b_n (2) вып нерав-во 0<=a_n<= b_n "n (3) тогда а) если ряд (2) сх то ряд (1) сх б) если ряд (2) расх то ряд (1) расх {Д}а) пусть Σ_n=1b_n сход, тогда по крит. Сход знакопост рядов, его частич сумма огданич сверху S_bn<=I из (3) получаем S_an<=S_bn<=I где S_an частичн сумма ряда (1) т.е она также ограничена сверху и по критерию сходим Þ ряд Σ_n=1a_n сход. {Д}б) пусть ряд (1) расх докажем что ряд (2) также расх. Если бы ряд (2) сход то по части а) теоремы Þ ряд (1) тоже должен сходится, что наруш услов т.е (2) расход.

Призр срав в ф-ме рав.

{Т}признак срав в пред ф-ме. Пусть для рядов Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n выполн усл: a_n~b_n при n®% тогда оба ряда либо сходятся либо расх одинаково. {Д} a_n~b_n при n®% Þlim_n®%a_n/b_n=1Þ "e>0®|a_n/b_n-1|<e -e< a_n/b_n-1<e Þ -eb_n+b_n<a_n<eb_n+b_n (1) пусть Σ_n=1a_n сход. Из левой части неравенства (1) и из признака срав в ф-ме неравенстваÞ что ряд Σ_n=1b_n(1-e)- сход т.е (1-e)Σ_n=1b_n сходÞ сход ряд Σ_n=1b_n если Σ_n=1a_n расход тогда из прав части нерав (1) и из принципа сравн в ф-ме неравÞ ряд Σ_n=1b_n(1+e)-расхÞΣ_n=1b_n расход.

Призн Деламбера ф-ме нерав.

{Т} Σ_n=1a_n если вып усл "n a_n+1/a_n<=q где qÎ(0 1) то ряд сход а если a_n+1/a_n>=1 то ряд расх. {Д}а) пусть a_n+1/a_n<=q тогда a_n+1<=qa_n<=q² a_n-1<=q³a_n-2<=…<=qⁿa_n т.к ряд qⁿ при |q|<1 сходится, то по призн сравн в ф-ме неравенства ряд Σ_n=1a_n тоже сходится б) пусть a_n+1/a_n>=1 т.е a_n+1>=a_n "nÞпослед {a_n} возрастÞпо следствию из необход признака ряд рясх.

 

 

Призн Деламбера в пред ф-ме.

{Т}Пусть выполняется условие lim_n®%a_n+1/a_n а) если λ<1 то ряд сход. б) если λ>1 то ряд расх. {Д} пусть lim_n®%a_n+1/a_n=λ |a_n+1/a_n-λ|<e Þ -e<a_n+1/a_n<e Þ λ-e<a_n+1/a_n<λ+e (1) а) пусть λ<1 выберим e таким чтобы λ+e<1 тогда a_n+1/a_n<λ+e=q<=1 и по признаку Даламбера в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1выберим e так чтобы из (1) a_n+1/a_n>λ-e>1 и по признаку деламб в ф-ме нерав ряд расх. Если λ=1 не применим призн.

Признак Коши в ф-ме нерав и в пред ф-ме.

{Т} _n√a_n<=q где qÎ(0 1) тогда ряд сход если _n√a_n>=1 то ряд расх {Д} пусть _n√a_n<=q a_n<=qⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сход при q<1 то по признаку сравн в ф-ме неравенства ряд сход Пусть _n√a_n>=1Þ a_n>=1 по следствию из необх признака рад расходится. (в пред ф-ме) Σ_n=1a_n пусть вып. Услов lim_{n®% n}√a_n=λ а) если λ<1 ряд сход б) если λ>1 ряд расх {Д} пусть lim_{n®% n}√a_n=λ Þ | _n√a_n-λ|<e Þ λ-e< _n√a_n<λ+eÞ (λ-e)ⁿ<a_n<(λ+e)ⁿ а) Пусть λ<1 выберем e так чтобы λ+e<1 тогда по признаку Коши в форме неравенства ряд сходится. б) пусть λ>1 выберем e так чтобы λ-e>1 тогда по признаку коши ряд расх. λ=/=1.

Абсолют и усл сход рядов.

{O}Знакопеременные ряды Если ряд Σ_n=1a_n схоится а ряд Σ_n=1|a_n | расход то ряд Σ_n=1a_n назыв условно сход рядом Если ряд Σ_n=1a_n и ряд Σ_n=1|a_n | оба сходятся то ряд Σ_n=1a_n наз абсолютно сход рядом. Знакопеременные ряды требуют дот исслед на усл/абс сходимость.

Теорема об абс сход рядов.

{Т}если Σ_n=1|a_n | сходится то ряд Σ_n=1a_n сх абсолютно. {Д} рассмотрим ряды Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n где U_n=|a_n|+a_n/2 V_n=|a_n|-a_n/2 можно проверить что U_n<=|a_n| и V_n=<|a_n| по признаку сравн в ф-ме неравенства т.к ряд Σ_n=1|a_n | сход по услов то Σ_n=1U_n и Σ_n=1V_n также сходятся. a_n=U_n-V_nÞ Σ_n=1a_n= Σ_n=1(U_n-V_n) по св-ву 1)(см ниже) рядовÞ ряд Σ_n=1(U_n-V_n) сходится, т.е сходится ряд Σ_n=1a_n (пример Σ_n=1sin(n)/n²-см по модулю-дост призн ого- сход абс.) {св-ва} 1) сумма абсолютно сходящегося ряда рвна алгебр сумме его положит м отриц членов. Для усл сход ряда это наверно. 2)В абс сходящемся ряде члены ряда можно переставлять как угодно от этого смма ряда не измениться. В условно сход ряде перестановка членов может изменить сумму ряда или сделать его расх.(пример Σ_n=1(-1)ⁿ1/n – сход условно.)

Знакочеред ряды признак лейбница.

{O}b₁-b₂+b₃-b₄+…=Σ_n=1 (-1)ⁿ⁺¹b_n (1) где b_n>=0 "n т.к это частн случ знакопер ряда, св-ва для знакопер ряда одинак для знакочеред. {O}Признак лейбница Если в ряд (1) {b_n} убывает и lim_n®%b_n=0 то ряд (1) сход. {Д} сгрупп ряд (1) так, (b₁-b₂)+(b₃-b₄)+… (2) и так b₁-(b₂-b₃)-(b₄-b₅)+… (3) т.к по усл {b_n} убывает т.е b_n>=b_n+1 Þ b_n-b_n+1>=0 то в скобках (2) и (3) неотриц члены, (2) Þ S₂<=S₄<=…<=S_2n<=.. (4) (3) Þ S₁>=S₃>=…>=S_2n+1 (5) из (4) и (5) Þ {S_2n} возраст и {S_2n+1} убывает расмот рав-во S_2n+1=S_2n+ b_2n+1 (6) т.к b_2n+1>=0 Þ S_2n<=S_2n+1 из (4) Þ S₂<=S_2n<=S_2n+1 Þ S_2n+1>=S₂ "n Þ {S_2n+1} имеет предел lim_n®%S_2n+1=α из (5) Þ S₁>=S_2n+1>=S_2n т.е S_2n<=S₁ т.е {S_2n} огренич сверху поэтому lim_n®%S_2n=β из (6) Þ lim_n®%S_2n+1=lim_n®%S_2n+lim_n®%b_2n+1=0 α=β т.е lim_n®%S_2n+1=lim_n®%S_2n=lim_n®%S_n=S₁ т.е ряд сход.

Функц ряды.

{O}функц ряд- Ряд вида Σ_n=1U_n(x) (1) где U_n(x) ф-ция опред на [a b] Ряд (1) наз сход если lim_n®%S_n(х)=S(x) т.е "e>0 $N_e(х):"n>N_e(х)®|S_n(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] если "e>0 $N_e:"n>N_e®|S_n(х)-S(x)|<e "xÎ[a b] то ряд (1) сход равномерно на [a b] {O}Признак Вейрштрасса равномер сход ряда Если для ряда (1) сушь такой сход числ ряд Σ_n=1a_n, что для всех n и "xÎ[a b] вып условие: |U_n(x)|<=a_n то ряд (1) будет сход абс и равномер на [a b].

Степ ряд Т Абеля

{O} Σ_n=1с_n(x-x₀) где с_n коэфф ряда, а x₀ заданное число, так заменой z=x-x₀ можно получить более простой ряд Σ_n=0с_nzⁿ то далее ряд Σ_n=0с_nхⁿ (1) {Т}если (1) сходится в точке x₀ то он сх абсолютно и равноменрно во всех точках x так что |x|<=q|x₀| 0<q<1 Если ряд (1) расх в точке x₁ то он расх во всех точках x: |x|>|x₁| {Д} Пусть ряд (1) сх в x₀ тогда по необх признаку сх ряда получ lim_n®%с_nх₀ⁿ=0 по Т об огранч сход последоват $M>0:"n®|c_nх₀ⁿ|<=M возмем число x: |x|<=q|x₀| 0<q<1 |c_nх₀ⁿ|<=|c_nqⁿх₀ⁿ|<=Mqⁿ т.к Σ_n=1qⁿ сх как геом прогрес (0<q<1) то по приз срав в ф-ме нерав ряд Σ_n=0с_nхⁿ сх и равномерн "x:|x|<=q|x₀| Пусть ряд (1) расх в x₁ докаж что он расх во всех точках x таеих что |x|>|x₁| Пусть ряд сх в x: |x|>|x₁| тогда по первой части теоремы ряд должен сх в x₁ что нарушает усл теоремы Þ ряд расх в x: |x|>|x₁| расх _{-x1 -x0} сход _{x0 x1} расх Радиус сход R (-R R) интервал сходимости.

Интегр и дофф степ рядов.

{св-ва} 1) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости ряда сход к непр ф-ции 2) ряд Σ_n=0с_nxⁿ на любом отрезке внутри интервала сход, можно почленно дифференц Σ_n=0с_nxⁿ=S(x) Σ_n=0с_nxⁿ⁺¹/n+1= ₀ò^xS(x)dx 3) ряд Σ_n=0с_nxⁿ в интервале сходимости можно почленно дифф

 

Методы разл в ряд Тейлора.

{O}Основ ф-ции e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+...=Σ_n=0 xⁿ/n! R=% sinx=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! R=% cosx=1-x²/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+...=Σ_n=0(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! R=% ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+...=Σ_n=1(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n xÎ(-1 1) (1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/2!+…+a(a-1)…(a-k+1)x^k/k!+… xÎ(-1 1) при a=-1 (1+x)^-1=1/1+x= Σ_k=0(-1)^kx^k xÎ(-1 1) (метод замен перемен, предв преобраз, почлен дифф)

Переод ф-ции и их св-ва.

{O}Из тригоном ряда фурье видно что сумма ряда это переодич ф-ция с периодом 2l число 2l>0 назыв периодом ф-ции g(x) с обл опред D(g) если 1) g(x-2l), g(x+2l) принадлежит области опред ф-ции D(g) 2) выпол услов g(x-2l)=g(x)=g(x+2l) такая ф-ция называется 2l переодич ф-цией. Из (п 23 ООÞ что в f(x) в тригонометрич ряде фурье это 2l периодич ф-ция 1) любую ф-цию f(x) опред на (a b) можно сделать переодич продлив её вдоль оси Ох влево и в право _.-*’_.-*’_a_.-*’_b_.-*’_x b-a=2l l=b-a/2 {св-ва} 1) Если f(x) -2l переодическая ф-ция то справедливо: _aò^bf(x)dx=_a+2lò^b+2lf(x)dx {Д} _aò^bf(x)dx=|x=z-2l, dx=dz, x=a, z=a+2l, x=b.z=b+2l|= _a+2lò^b+2lf(z-2l)dz=|по опред период ф-ции|= _a+2lò^b+2lf(x)dx 2)если f(x)-2l периодич то _a-lò^a+lf(x)dx=_-lò^lf(x)dx {Д} _a-lò^a+l=_a-lò^-l+_-lò^l+_lò^a+l=[ _a-lò^-l=-_lò^a-l=|по св-ву 1)|=-_2l-lò^a-l+al=-_lò^a+l]=_-lò^l Из св-ва 2) Þ при a=l 0ò^2lf(x)dx=_-lò^lf(x)dx из получ ф-лы Þ козфф фурье для тригоном ряда можно вычисл в пред от 0 до 2l

Теорема Дирихле.

{Т}Пусть ф-ция f(x) удовл условию Дирихле 1)f(x) на (-l l) может иметь лишь нечетное число точек разрыва причем все они 1-го рода. 2)интервал (-l l) может быть разбит на ненечетное число промежутков в каждом из которых f(x) монотонная ф-ция тогда ряд фурье для f(x) на (-l l) сход: 1)в точке где f(x) непрерывна к ф-ции f(x) 2) в точках разрыва к числу f(x-0)+f(x+0)/2

Числ послед и пределы

{O}числ. Послед-отображения мн-ва натуральных чисел N во мн-во действ чисел R, обознач {a_n} или {x_n} {O}предел числ послед {x_n} – если для любой e окресн числа а сошь такой номер N послед, начиная с которого все члены послед наход в e окресн числа а, за пределом окресн может нах лишь конечное число членов последовательности. {lim_n®%x_n=a}={"e>0,$N:"n>=N®|x_n-a|<e} {O} сход послед- имеет конечный предел иначе- расходяшь посл {O}стационарн послед-все её члены равны-{c} limc=c {пример} {qⁿ} |q|<1 доказать lim_n®0qⁿ=0 |qⁿ-0|<eÞ|qⁿ |<e nln|q|<lne n>lne/ln|q| обознач N=[ lne/lnq] –целая часть n>N |qⁿ-0|<eÞlim_n®%qⁿ=0{O}б.б числ послед {x_n}- если для любого M>0 сушь N такая, что для всех n>N®|x_n|>m {T}О связи б.б.п и б.м.п аналогич теореме о связм б.б.фÞ lim_n®%qⁿ при |qⁿ|>1 = % {T}О арифм опер над пред числ послед аналогично. {T}О монотонных последовательностях если "n x_n<=x_n+1, то x_n-возраст, а если x_n>=x_n+1-убывающая. {O} {x_n}-огранич, если $с>0:"n®|x_n|<=c. {T}Монотонная послед сход тогда, когда она ограничена a₁+a₂+…+a_n+… (1) или Σ_n=1a_n наз числовым рядом, где {a_i} числ послед.

Опред ряда частн суммы ряда.

a₁+a₂+…+a_n+… (1) {O}S₁=a₁,S₂=a₁+a₂,S₃=a₁+a₂+a₃,…,S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n… -это частичн суммы ряда (1) Они образ числ послед {S_n} если сушь lim_n®%S_n=S то ряд (1)- сходится и S-его сумма. Иначе ряд расх. (1+q+q²+…+qⁿ+… S=1-qⁿ⁺¹/1-q если |q|<1 lim_n®%qⁿ=0 lim_n®%s_n= lim_n®%1-qⁿ⁺¹/1-q=1/1-q. При q>=1 ряд расх.

Св-ва ряда

1) Если Σ_n=1a_n и Σ_n=1b_n сходятся, то Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n)- сход где где k₁,k₂-пост, причем если A-сумма Σ_n=1a_n и B- сумма Σ_n=1b_n.то k₁A+k₂B- сумма Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) {Д} Σ_n=1a_n сход то lim_n®%S_an=A Σ_n=1b_n cх то lim_n®%S_bn=B т.к частич суммы это конечные суммы то k₁S_an+k₂S_bn тоже частич суммы Σ_n=1(k₁a_n+k₂b_n) lim_n®%(k₁S_an+k₂S_bn)=k₁lim_n®%S_an+k₂lim_n®%S_bn=k₁A+k₂B 2) Если Σ_n=1a_n-сх(расх)то ряд Σ_n=m+1a_n-сх (расх) Σ_n=1a_n=S_n+δ δ=Σ_n=m+1a_n S_n= a₁+a₂+…+a_n+… δ=S- S_n- сумма Σ_n=m+1a_n 3) Если ряд Σ_n=1a_n сход то его сходимость на меняется от произвольной группировки его членов без перестановки членов ряда.(1-1+1-1… (1-1)+(1-1)…=0 сход 1-(1-1)-(1-1)=1-расх)

Необх признак сход ряда.

{T} если ряд сходится, то lim_n®%a_n=0 {Д} из опред частн сумм S_n-S_n-1=a_n lim_n®%S_n=S lim_n®%S_n-1=S lim_n®%a_n=0 Следствие: если lim_n®%a_n=/=0 то ряд a₁+a₂+…+a_n+…=Σ_n=1a_n (1) расх {Д}если бы ряд (1) сход то lim_n®%a_n=0, что противоречит условию.