Необходимый признак сходимости ряда

Г Л А В А 11

РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Пусть дана последовательность действительных чисел

Выражение вида

(1.1)

называется числовым рядом, числа - членами ряда, - n -ым или общим членом ряда. Сумма n первых членов ряда называется n -ой частичной суммой и обозначается символом : .

Если для последовательности частичных сумм существует конечный предел S, то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S – суммой данного ряда. В этом случае пишут: ; .

Ряд (1.1) называется расходящимся, если не существует или бесконечен. Ряд, полученный из (1.1) отбрасыванием первых его m членов, называется остатком ряда (1.1):

(1.2)

Ряд сходится или расходится вместе со своим остатком.

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

Теорема 1. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю:

(2.1)

Следствие. Если , то ряд (1.1) расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Найдем: (в числителе стоит показательная функция, которая растет быстрее, чем n), следовательно, ряд расходится. #

Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда

. (2.2)

Ñ Очевидно, условие (2.1) выполняется: , однако, гармонический ряд расходится. Действительно, если предположить, что ряд (2.2) сходится и его сумма равна S, то . Тогда из неравенства Þ . Получили противоречие. #

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛОВЫМИ РЯДАМИ.

ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Рассмотрим ряды:

; ; ; . (3.1 a,b,c,d)

Ряд (с) называется суммой рядов (а) и (b), а ряд (d) – произведением ряда (а) на число a.

Если сходятся ряды (а) и (b), то сходятся и ряды (с) и (d) и если , то ; .

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ

Ряд называется знакоположительным, если

. (4.1)

Приведем некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Теорема 2. (признак сравнения в непредельной форме). Даны 2 ряда

и . (4.2 a, b)

Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (b) сходится, то сходится и ряд (а). Если же ряд (а) расходится, то ряд (b) тоже расходится.

Теорема 3. (признак сравнения в предельной форме). Даны 2 ряда:

и . (4.2, a,b)

Если существует конечный и не равный нулю предел: , то ряды (а) и (b) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения удобно выбирать: 1) гармонический ряд , который расходится; 2) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), который сходится при p >1 и расходится при p £1; 3) геометрическую прогрессию , которая сходится, если и расходится, если .

Признак сравнения в предельной форме особенно эффективен для рядов, общий член которых есть алгебраическая функция целого аргумента, либо функция, в пределе приводимая к вышеуказанной (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых), т.к. позволяет свести исследование сходимости исходного ряда к рассмотрению одного из трех “эталонных” рядов.

Пример. Исследовать сходимость ряда

.

Ñ Ряд знакоположительный, применим к нему признак сравнения в предельной форме, сравнив его с рядом , который сходится как обобщенный гармонический ряд с .

. Предел отношения общих членов этих рядов при конечный, не равный нулю, следовательно, ряды ведут себя одинаково; данный ряд сходится. Ряд для сравнения подбираем следующим образом: при ; #

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакоположительный. Т.к. при аргумент , то , поэтому для сравнения берем ряд . Последний ряд является гармоническим, все члены которого умножены на , что не влияет на его расходимость. Т.к. и ряд расходится, то также расходится. #

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Ñ Ряд дан знакоположительный. Т.к. , т.е. он может быть равен 1 или–1, то . Из последнего неравенства видно, что исходный ряд можно сравнить с рядом , а этот ряд сходится (обобщенный гармонический с p =2>1, все члены которого умножены на 4). Но т.к. ряд с большими членами сходится, то на основании признака сравнения в непредельной форме будет сходиться и исходный ряд. #

Теорема 4. (признак Даламбера). Дан ряд

(4.1).

Если существует , то при q <1 ряд сходится, при q >1 ряд расходится; при q =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Признак Даламбера не дает результата для рядов с общим членом в виде дробно-рациональной функции или функции, содержащей под радикалом переменную n, т.к. замена n на n +1 не меняет коэффициента при старших степенях n. Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториалов. Заметим, что n!=1×2×3… n.

Пример. Исследовать сходимость ряда

c помощью признака Даламбера.

Ñ Здесь .

Тогда

. Ряд сходится, т.к. q <1. #

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ , = . Т.к. q >1, ряд расходится. #

Теорема 5 (признак Коши, радикальный). Дан ряд (4.1). Если существует , то при q <1 ряд сходится; при q >1 ряд расходится; при q =1 вопрос о сходимости ряд остается открытым.

Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакоположительный, применим к нему признак Коши; найдем

.По теореме 5 ряд сходится. #

Теорема 6 (интегральный признак Коши). Дан ряд (4.1). Если функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям: 1) ; 2) непрерывна, положительна и монотонно убывает при , то ряд (4.1) и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Интегральный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда функция f (x), полученная заменой в общем члене ряда целочисленной переменной n на непрерывную переменную x, обладает легко находимой первообразной.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Рассмотрим функцию . При натуральных значениях аргумента значения функции совпадают с соответствующими членами ряда: . Кроме того, f (x) при будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей (функция , стоящая в знаменателе, растет быстрее, чем ln(x +1), стоящая в числителе). Показать, что f (x) будет монотонно убывающей, можно и с помощью :

для , следовательно, f (x) - убывающая на [1,+¥).

Рассмотрим несобственный интеграл , который берется по частям:

.

Найдем отдельно .

Здесь для нахождения предела применили правило Лопиталя. Далее: . Итак, = . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. #

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

(5.1)

Теорема 7 (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е., начиная с некоторого n, верно неравенство и , то ряд (5.1) сходится, причем, если его сумма равна s, то .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теорема 7). ,

. Очевидно, что . Кроме того, . Выполнены оба условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится. #

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолютной величине монотонно убывают. В самом деле, , т.к. . Однако, . Значит, ряд расходится по необходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница расходимость не установить. #

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Ряд называется знакопеременным, если членами его являются любые действительные числа: .

Теорема 8 (признак абсолютной сходимости).

Дан ряд . Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Т.к. знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять признак абсолютной сходимости.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

ÑДан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом , который представляет собой геометрическую прогрессию с , следовательно, сходится. Имеем очевидное неравенство: , тогда ряд также сходится, а значит по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.#

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница

(6.1)

Ñ По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится, т.к. для него выполняются оба условия этого признака: a) и

б) . Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим, который расходится (см. 2.2). Следовательно, ряд Лейбница сходится условно. #

Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд , то сходится и ряд + , причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема11. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Произведением рядов и называется ряд , где

 

Теорема 12. Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно, то ряд - произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, равную .

Краткие рекомендации по применению тех или иных признаков сходимости к соответствующим рядам приведены в нижеследующей таблице.

Знакоположительные ряды.	Знакочередующиеся ряды.	Знакопеременные ряды.
1. Необходимый. 2. Сравнения в непредельной форме. 3. Сравнения в предельной форме. 4. Даламбера. 5. Коши радикальный. 6. Коши интегральный.	1. Необходимый. 2. Лейбница. 3. Абсолютной сходимости.	1. Необходимый. 2. Абсолютной сходимости.

 

Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки сходимости рядов, с которыми можно познакомиться в литературе, указанной к этому задачнику.

Задачи для самостоятельного решения

Найти сумму ряда, исходя из определения.

1. 2. 3.

Доказать расходимость рядов с помощью необходимого признака.

4. 5. 6.

Решить вопрос о сходимости рядов с помощью признаков сравнения.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши (радикального).

21. 22. 23.

Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши.

24. 25.

Выяснить, какие из рядов сходятся, какие расходятся.

26. 27. 28.

29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. Доказать, что .

Исследовать сходимость следующих рядов. В случае сходимости исследовать, как ряды сходятся: абсолютно или условно.

36. 37. 38.

39. 40. 41.

42. 43. 44.

45.

46. Показать, что если ряды и сходятся, то и ряд абсолютно сходится.

47. Показать, что если ряд абсолютно сходится, то и ряд тоже абсолютно сходится.

48. Дан ряд Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой его первых четырех членов. Суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаке этих ошибок?

49. Сколько нужно взять членов ряда , чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?

Ответы к задачам главы 11

1)	2)	3)	7) Расходится	8) Расходится
9) Сходится	10) Сходится	11) Сходится	12) Сходится	13) Сходится
14) Сходится	15) Сходится	16) Сходится	17) Сходится	18) Сходится
19) Сходится	20)Расходится	21) Сходится	22) Сходится	23) Расходится
24) Расходится	25) Сходится	26) Сходится	27) Расходится	28) Сходится
29) Расходится	30) Расходится	31) Сходится	32) Расходится	33) Сходится

34) Сходится 36) Сходится абсолютно 37) Сходится условно 38) Сходится абсолютно

39) Сходится абсолютно 40) Расходится 41) Сходится условно 42) Сходится условно

43) Расходится 44) Сходится абсолютно 45) Сходится абсолютно

48) а) ошибка по модулю меньше , ошибка отрицательная.

49) а) 99членов; б) 999 членов.

Г Л А В А 12

ФУНЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ряд

, (1.1)

членами которого являются функции от x, определенные на множестве D, называется функциональным рядом. Если числовой ряд сходится, где , то называется точкой сходимости ряда (1.1). Множество всех точек сходимости ряда (1.1) называется областью сходимости ряда (1.1). Если существует , где , , то говорят, что ряд (1.1) сходится на множестве X к S (x). S (x) называется суммой ряда (1.1). На языке “ ” это можно записать так:

.

Для нахождения области сходимости ряда (1.1) можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Ñ Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при и расходится при . Областью сходимости ряда является интервал .#

Пример. Найти область сходимости ряда .

Ñ Данный ряд является геометрической прогрессией, которая сходится, если . . Область сходимости ряда – интервал .#

Пример. Найти область сходимости ряда

(a)

Ñ Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

(б)

и к нему применим признак Даламбера (теорема 11.4). . Ряд (б) будет сходиться, если . Тогда ряд (а) будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (-4, 0). При ряд (а) расходится, как не удовлетворяющий необходимому признаку сходимости (следствие из теоремы (11.1)). Если , то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при и ряд нужно исследовать особо. При из ряда (а) получим числовой ряд , который сходится (ряд Лейбница) (см. задачу раздела (11.6)). При из ряда (а) получим - гармонический ряд, который расходится (раздел 11.2). Итак, областью сходимости ряда (а) будет промежуток [-4,0). #

Задачи для самостоятельного решения

Найти область сходимости следующих рядов.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. .

15. . 16. . 17. .

18. . 19. .

 

ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

Пусть функция имеет в т. и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд

(5.1)

называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т. ряд сходится и имеет суммой f (x), т.е.

,

то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т. (или по степеням ). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Теорема 8. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы .

- остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: ,

Теорема 9. Если имеет в некотором промежутке, содержащем т. , производные всех порядков, для которых , то при и значит разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

То же самое в символической записи:

.

При разложении в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: .

2) Использование готовых разложений:

.

Пример. Разложить в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2.

Ñ Решим эту задачу двумя способами.

I способ. Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:1)

;

……………………………………………………

……………………………………………………

Вычислим найденные производные в т. x = 2:

…,

,…

Составим формально ряд Тейлора:

(5.2)

б) Найдем область сходимости ряда (5.2), используя признак Даламбера:

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (5.2) сходится на всей числовой оси: .

в) Докажем, что при всех x ряд (5.2) сходится к , для чего достаточно показать, что при :

при

. Как результат решения задачи можем записать:

, .

II способ. Разложим в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем следующим образом:

.

В ряд Маклорена для cos x

(5.3)

справа и слева вместо x подставим , получим:

; (5.4)

(т.к. в (5/3) #

При разложении функции в ряд часто используют почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена .

Ñ Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию , для чего в разложении заменим x на .

.

Поэтому (получившийся ряд сходится и в граничных точках). #

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Следующие функции разложить в ряд Маклорена

33. ; 34. 35. ; 36. ; 37. ; 38. ;

39. ; 40. . 41. ; 42. ; 43. .

44. ; 45. ; 46. ; 47. .

Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности т. .

Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.

48. . 49. . 50. . 51. .

52. . 53. . 54. .

55. . 56. .

ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Если некоторое число S разложено в ряд

(6.1)

и ,

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

.

Как произвести оценку погрешности?

1)Если ряд (6.1) – знакочередующийся, то остаток D имеет знак своего первого члена и .

2) Если ряд (6.1) – знакоположительный, то остаток D оценивают либо с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов инт