Эталонные ряды- это ряд, сходимость которого нам известна

Эталонные ряды- это ряд, сходимость которого нам известна

Геометрический ряд

Обобщеный гармонический ряд

В частности, при к=1 получаем гармонический ряд

 

2. Признаки сравнения знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Предельный признак сравнения рядов. Интегральный признак сходимости рядов.

Признаки сравнения знакоположительных рядов.

− знакоположительные ряды.

Общий признак сравнения (ОПС). Пусть . В этом случае:

1. ряд Q сходится ряд Р сходится.

2. ряд Р расходится ряд Q расходится.

{ По условию P_n ≤ Q_n. (1): P_n ≤ Q_n ≤ Q т.е. P_n ограничены и ряд Р сходится (§5).

(2): P_n →∞, Q_n ≥ P_n Q_n →∞ и ряд Q расходится. }

Замечание. Неравенство можно заменить на

Пример. Исследовать на сходимость: . { }

Предельный признак сравнения. Пусть существует В этом случае:

1) С ≠ 0: ряды P и Q сходятся или расходятся одновременно.

2) С = 0: из сходимости Q следует сходимость Р, а из расходимости Р следует расходимость Q.

{ (1): утверждение следует из ОПС.

(2): и снова ОПС }

Предельный признак Коши. Пусть существует .

Если s < 1 – ряд Р сходится, если s > 1 – расходится. (при s = 1 вопрос о сходимости открыт).

{1. По ОПС ряд P

сходится. 2. s > 1; ряд Р расходится по необходимому признаку }

Замечание. При использовании признака Коши, полезно помнить:

Предельный признак Даламбера.. Пусть существует

Если s < 1 – ряд Р сходится, если s > 1 – расходится. (при s = 1 вопрос о сходимости открыт)

 

Интегральный признак Коши.

Пусть функция f (x) ≥ 0 не возрастает при х ≥ 1. В этом случае и

сходятся или расходятся одновременно.

Проинтегрируем эти неравенства от (k – 1) до k и просуммируем по k от 2-х до n:

Если интеграл сходится, то частичные суммы ограничены (левое

неравенство) и ряд сходится. Если интеграл расходится (к бесконечности!), то частичные суммы неограниченны (правое неравенство) и ряд расходится. В обратную сторону доказательство

аналогично.}

 

3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное убывание {a_n})

2. .

Тогда этот ряд сходится.

Ряд А называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

{Обозначим По признаку сравнения ряд Р сходится. Но P_n = A_n + A ^* _n,

т.е. A_n = P_n – A^*_n и ряд А сходится.}

Замечание. Отсюда следует, что для абсолютно сходящихся рядов отпадает необходимость в

отдельном исследовании на обычную или условную сходимость.

Обозначим через p_k и q_k положительные и модули отрицательных членов ряда А соответственно.

Тогда A_n = P_m – Q_s.

Ряд А называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A ^* расходится. Если А сходится абсолютно, то ряды P и Q сходятся. Если А сходится условно, то

ряды P и Q расходятся (к бесконечности).

{(1): P_n ≤ A^* и Q_n ≤ A^* и ряды P и Q сходятся (§5); (2): предположим, что P, Q сходятся

, что противоречит условию; пусть теперь Р расходится, а Q сходится. A_n + Q_s = P_m и что противоречит предположению}

 

 

4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Признак равномерной сходимости функционального ряда.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Ряд называется степенным рядом. Здесь _называют коэффициентами ряда. Любой степенной ряд сходится в т. х = 0 и S (0) = a ₀.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве D, если

 

Замечания.

1. Равномерная сходимость рассматривается только на множестве.

2. Наименьшее значение N _min, при котором выполняется заключительное неравенство, для

каждого свое, но, в отличие от обычной сходимости на D, существует наибольшее значение из всех наименьших N: , которое и фигурирует в определении.

 

5. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Формула для нахождения радиуса сходимости и ее разновидности. Свойства степенных рядов

 

Любой степенной ряд сходится в т. х = 0 и S (0) = a ₀.

Ряд − степенной ряд с центром в т. х ₀.

Теорема Абеля. Пусть ряд сходится в т. Тогда он абсолютно сходится во всех точках х, удовлетворяющих условию

{ Так как ряд сходится, то величина ограничена:

.

Пусть Ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, ряд сходится (по признаку сравнения)

Признак сходимости коши

.

Если s < 1 – ряд Р сходится, если s > 1 – расходится. (при s = 1 вопрос о сходимости открыт)

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности

некоторой точки.

Теорема:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,

· Пусть

· Пусть — произвольное положительное число,

тогда: точка при или при :

 

 

БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД - степенной ряд вида

где n - целое, а α - произвольное фиксированное число (вообще говоря, комплексное), z = x + iy - комплексное переменное, (^α_n) - биномиальные коэффициенты. Для целых α = m ≥ 0 Б. р. сводится к конечной сумме m + 1 слагаемых

называемой Ньютона биномом.

 

 

8. Разложение функций в ряд Маклорена. Разложение функции .

Разложение функции f(x) в ряд Тейлора при x₀=0 называется разложением этой функции в ряд Маклорена.

 

Уравнение кривой, которой описывается форма гибкой нерастяжимой нити, закрепленной концами в двух данных точках, 1) под действием собственного веса; 2) под действием равномерно распределенной нагрузки.

Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.

1)

Итак, цепная линия описывается гиперболическим косинусом. Ее форма однозначно определяется параметром

2) форма цепной линии равного сопротивления определяется функцией

где b обозначает

Формула Грина

Пусть в плоскости дана ограниченная замкнутым контуром правильная область , причем ее проекцией на ось является отрезок , снизу область ограничена кривой , а сверху – кривой (в совокупности эти кривые составляют замкнутый контур ).
Пусть также в области заданы непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные.
Тогда, если обход контура совершается против часовой стрелки, справедлива следующая формула:
.

 

25. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

 

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если в одной точке, то

3. Монотонность: если на , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

Очевидно, что: .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

 

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

 

Вычисление

Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой , то нетрудно показать, что

Формула Стокса

 

Пусть на ориентируемом многообразии размерности заданы ориентируемое -мерное подмногообразие и дифференциальная форма степени класса (). Тогда, если граница подмногообразия положительно ориентирована, то

где обозначает внешний дифференциал формы .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность междукогомологией де Рама и гомологией циклов многообразия .

 

 

Дивергенция

— след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.

 

Ротор

— векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

,

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

 

Эталонные ряды- это ряд, сходимость которого нам известна

Геометрический ряд

Обобщеный гармонический ряд

В частности, при к=1 получаем гармонический ряд

 

2. Признаки сравнения знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Предельный признак сравнения рядов. Интегральный признак сходимости рядов.

Признаки сравнения знакоположительных рядов.

− знакоположительные ряды.

Общий признак сравнения (ОПС). Пусть . В этом случае:

1. ряд Q сходится ряд Р сходится.

2. ряд Р расходится ряд Q расходится.

{ По условию P_n ≤ Q_n. (1): P_n ≤ Q_n ≤ Q т.е. P_n ограничены и ряд Р сходится (§5).

(2): P_n →∞, Q_n ≥ P_n Q_n →∞ и ряд Q расходится. }

Замечание. Неравенство можно заменить на

Пример. Исследовать на сходимость: . { }

Предельный признак сравнения. Пусть существует В этом случае:

1) С ≠ 0: ряды P и Q сходятся или расходятся одновременно.

2) С = 0: из сходимости Q следует сходимость Р, а из расходимости Р следует расходимость Q.

{ (1): утверждение следует из ОПС.

(2): и снова ОПС }

Предельный признак Коши. Пусть существует .

Если s < 1 – ряд Р сходится, если s > 1 – расходится. (при s = 1 вопрос о сходимости открыт).

{1. По ОПС ряд P

сходится. 2. s > 1; ряд Р расходится по необходимому признаку }

Замечание. При использовании признака Коши, полезно помнить:

Предельный признак Даламбера.. Пусть существует

Если s < 1 – ряд Р сходится, если s > 1 – расходится. (при s = 1 вопрос о сходимости открыт)

 

Интегральный признак Коши.

Пусть функция f (x) ≥ 0 не возрастает при х ≥ 1. В этом случае и

сходятся или расходятся одновременно.

Проинтегрируем эти неравенства от (k – 1) до k и просуммируем по k от 2-х до n:

Если интеграл сходится, то частичные суммы ограничены (левое

неравенство) и ряд сходится. Если интеграл расходится (к бесконечности!), то частичные суммы неограниченны (правое неравенство) и ряд расходится. В обратную сторону доказательство

аналогично.}

 

3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное убывание {a_n})

2. .

Тогда этот ряд сходится.

Ряд А называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

{Обозначим По признаку сравнения ряд Р сходится. Но P_n = A_n + A ^* _n,

т.е. A_n = P_n – A^*_n и ряд А сходится.}

Замечание. Отсюда следует, что для абсолютно сходящихся рядов отпадает необходимость в

отдельном исследовании на обычную или условную сходимость.

Обозначим через p_k и q_k положительные и модули отрицательных членов ряда А соответственно.

Тогда A_n = P_m – Q_s.

Ряд А называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд A ^* расходится. Если А сходится абсолютно, то ряды P и Q сходятся. Если А сходится условно, то

ряды P и Q расходятся (к бесконечности).

{(1): P_n ≤ A^* и Q_n ≤ A^* и ряды P и Q сходятся (§5); (2): предположим, что P, Q сходятся

, что противоречит условию; пусть теперь Р расходится, а Q сходится. A_n + Q_s = P_m и что противоречит предположению}

 

 

4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Признак равномерной сходимости функционального ряда.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Ряд называется степенным рядом. Здесь _называют коэффициентами ряда. Любой степенной ряд сходится в т. х = 0 и S (0) = a ₀.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве D, если

 

Замечания.

1. Равномерная сходимость рассматривается только на множестве.

2. Наименьшее значение N _min, при котором выполняется заключительное неравенство, для

каждого свое, но, в отличие от обычной сходимости на D, существует наибольшее значение из всех наименьших N: , которое и фигурирует в определении.

 

5. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Формула для нахождения радиуса сходимости и ее разновидности. Свойства степенных рядов

 

Любой степенной ряд сходится в т. х = 0 и S (0) = a ₀.

Ряд − степенной ряд с центром в т. х ₀.

Теорема Абеля. Пусть ряд сходится в т. Тогда он абсолютно сходится во всех точках х, удовлетворяющих условию

{ Так как ряд сходится, то величина ограничена:

.

Пусть Ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, ряд сходится (по признаку сравнения)