Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Признаки сходимости знакопеременных рядовСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида , (3.1) где – положительные числа. Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости: Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (4.1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена . Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий: 1) (3.2) 2) (3.3) Замечание. Неравенства (3.2) могут выполняться, начиная с некоторого . Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1) Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится. 2) . Решение. Проверим условие (3.2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида с помощью вычисления производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, раздел IV, пример 2). В нашем случае при , и функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых , начиная с трех. Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и . Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится. Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных. Предполагаем теперь, что в записи (3.4) имеются как положительные, так и отрицательные . Теорема. (Модульный признак сходимости знакопеременных рядов). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4): (3.5) сходится, то сходится и данный ряд. Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится. В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости: Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится. Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ). Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом: Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке): Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза. Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. Примеры Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость. 1) Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится по признаку сравнения, т.к. , а ряд – сходится (обобщенный гармонический ряд при ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся. 2) Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом (p подберем в процессе сравнения), имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет. Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что: 1) , 2) . Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится. Задачи Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость: 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. Степенные ряды До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени: (4.1) Определение. Ряд вида (4.1) называется степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда. Рассматривают и степенные ряды более общего вида: (4.2) (по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (4.1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: . Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (4.1) или (4.2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы: Теорема Абеля 1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что . Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема. Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и . Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ). Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда: (4.3) Т.к. при каждом конкретном ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера: Допустим, что существует . Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ). Следовательно, ряд (4.1) сходится абсолютно при и расходится при , и интервалом сходимости является интервал , а радиусом сходимости является число . При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения в ряд (4.1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае. Замечание. Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (4.3)): . Примеры Найти области сходимости степенных рядов: 1) Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда . Применим к нему признак Даламбера. Отсюда получаем интервал сходимости: . Исследуем сходимость на концах интервала: При исходный ряд принимает вид: – это обобщенный гармонический ряд при , а значит, он сходится. При получаем абсолютно сходящийся ряд , т.к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид: . 2) . Решение. Ряд, составленный из модулей, имеет вид: . ряд сходится при любых . Таким образом, интервалом сходимости является интервал . 3) Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , исследуем с помощью радикального признака Коши: Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки . 4) Решение . Отсюда получаем интервал сходимости: . При исходный ряд имеет вид: – это расходящийся ряд (обобщенный гармонический при ). Подставляя , получаем условно сходящийся ряд . Окончательно, интервал сходимости ряда имеет вид: . Свойства степенных рядов 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией во всем интервале сходимости ряда. 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему в интервале сходимости . 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости: Задачи. Найти области сходимости степенных рядов: 60 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. (Указание: при исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга ). Ряды Маклорена и Тейлора Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд (5.1) Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз: ……………………………………………………………. Полагая в полученных равенствах , получим , , , , …, , откуда , , , ,…, ,… Подставляя значения коэффициентов , в (5.1), получим ряд: (5.2) называемый рядом Маклорена. Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции . Если представить ряд Маклорена в виде , где – - я частичная сумма ряда, – - й остаток ряда, то можно сформулировать следующую теорему: Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений из интервала сходимости ряда. Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное. Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора: при Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора: , где – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в форме Лагранжа: , .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 1801; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.164.100 (0.007 с.) |