Степенной ряд. Признаки сходимости. Область сходимости.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке x0. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x0 | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

 

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x0 |. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела Пусть F(x) и G(x) — два степенных ряда с радиусами сходимости RF и RG. Тогда

Если у ряда G(x) свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы | x | = R круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при n > N и α > 1 выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.

Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность an монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности | x | = 1, кроме, быть может, точки x = 1.

Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке x = x0. Тогда он сходится равномерно по x на отрезке, соединяющем точки 0 и x0.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x является предметом изучения теории аналитических функций.

51. ряд Маклорена …

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

Квадратный корень:

для всех

для всех | x | < 1

Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех где B2n — Числа Бернулли

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

52. Ряд Тейлора…

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Свойства

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Þ Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

Þ Пусть

Þ Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a

И n производную в самой точке a, тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

 

Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов

 

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, и затем проинтегрировать его почленно.

Так как , то для требуемой точности достаточно первых пяти членов полученного ряда: