З а м е ч а н и Е. Нет общего метода интегрирования уравнения первого порядка. Обычно рассматривают некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой способ.

 

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

a2y'' + a1y' + a0y = 0

интегрируется следующим образом:

Пусть λ1,λ2 — корни характеристического уравнения.

a2λ2 + a1λ + a0 = 0,

Являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта:

при Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня

Общее решение имеет вид:

при Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1e^αt + c2te^αt

при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1e^αt cos(βt) + c2e^αt sin(βt)

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение (16)

где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение (16) называется неоднородным.

Если , то уравнение (16) называется однородным.

I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(17)

Общим решением уравнения (17) является функция

(18)

где – фундаментальная система решений уравнения (17).

Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .

Кратко критерий линейной независимости может быть сформулирован следующим образом: функции являются линейно независимыми, если определитель Вронского

отличен от нуля. В противном случае функции линейно зависимы.

 

Числовые ряды.

Определение ряда и его сходимостьВ настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел.

а₁, а₂, а₃,..., а_n,... (1.1)

Выражение вида

(1.2)

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,....

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).

Примеры.

аn = а×q^n-1,.

Понятно, что изучение функциональных рядов всегда можно свести к изучению числовых рядов, зафиксировав х = х₀.

Ряд (1.2) считается заданным, если мы знаем его общий член аn (то есть член, стоящий на n-ном месте). Из теории последовательностей мы знаем, что аn выражается как функция номера n.

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

(1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

Rn = a_n+1 + a_n+2 +... + a_n+i +..., (1.4)

Rn - остаток ряда.

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Необходимый признак сходимости ряда.

Числовые ряды - выражение типа

(1)

- члены ряда, - общий член ряда.

 

 

Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.

- называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.

Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.

Свойства рядов:

1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд. (с - const)

2) Если ряд (1) сходится и ряд сходится, то сходится.

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно.

Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Если не выполняется, то расходится.

Достаточное условие расходимости ряда: если предел или этот предел не существует, то ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда недостаточен для сходимости, поскольку существуют ряды, которые расходятся, но необходимый признак сходимости для них выполняется.