Функция нескольких переменных.

Функция нескольких переменных.

Функцией переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

— множество точек плоскости.

Частное и полное приращение

Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина?хz которая определяется соотношением?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у».?уz =f(x,?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина?Z которая определяется сотношением?z =f(x+?х,?у+y)-f(x,y)

Предел и непрерывность функции двух независимых переменных

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим Δх=х—х_0, Δу=у—у₀, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х₀;у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М₀(х₀;у₀).

Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной

Частные производные. Функции двух переменных.

Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области D имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y ₀ и z ₀, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x ₀); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x ₀ приращение Δ x, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .

Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных.

Градиент функции трех переменных.

Градиентом функции трех переменных u = f (x, y, z) в точке A = (x0, y0, z0)

 

называется вектор, координаты которого равны частным производным функции

в этой точке:

 

 ∂u ∂u ∂u 

grad u = ;

; .

 ∂x A ∂y A ∂z A 

 

В направлении градиента функция имеет наибольший рост.

Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

 

20.Вычисление интегралов вида , где m и n? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1. Смотри

 

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и .

 

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или . Смотри пример 6.

 

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотрипример 7.

 

Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.

 

Понятие интегральной суммы

Понятие интегральной суммы естественно обобщается на случай знакопеременной функции.
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (гл. На основе задачи об определении объема тела мы тию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным, интегралом.
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным, интегралом.
Исторически возникло два подход к теории интеграла для функции одной переменной. Первый подход, связанный с именем Ньютона, характеризуется тем, что исходной в теории интеграла считается задала обращения операции дифференцирования, т.е. задача определения функции по ее производной. Второй подход, исходящий от Лейбница, опирается на понятие интегральной суммы. Интеграл функции, есть предел ее интегральных сумм. Логическое завершение этого подхода к понятию интеграла дает теория интеграла Римана, которая обычно и излагается в большинстве руководств пб математическому анализу.
Широкое применение находят наглядные пособия и ТСО на уроках повторения и обобщения материала по всей изученной теме. Если в кабинете математики имеются кинофильмы или диафильмы, содержание которых соответствует данной теме, то их можно использовать полностью. Для обобщения материала полезно использовать экранные пособия и по другим темам, непосредственно связанным с данной. Например, при повторении темы Объемы тел целесообразно использовать материалы, которые иллюстрируют понятие интегральных сумм и их применение в алгебре и началах анализа.

25 Свойства определенного интеграла

1) Если f (x) = c = const, то
2) Устойчивое множитель можно выносить из-под знак определенного интеграла.

3) Если f1 (x) и f2 (x) интегрируемые на [a; b], то:

4) Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл только изменит свой ​​знак на противоположный.

5) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

6) Если f (x) - интегрируема в любом из промежутков [a; b], [a; c], [c; b], то:
7) Если f (x) ³ 0 и интегрируема для x Î [a, b], b> a, то

8) Если f (x), g (x) - интегрируемые и f (x) ³ g (x) для x Î [a; b], b> a, то:

9) Если f (x) - интегрируема и m £ f (x) £ M, для x Î [a; b], b> a, то

10) (Теорема о среднем): Если ф-ия f (x) - непрерывная для x Î [a; b], b> a, то найдется такая точка x = c Î [a; b], что:

Есть в тетради.

Есть в тетради.

Комплексная плоскость

 

Рассмотрим декартову систему координат x0y. Пусть каждому числу z = a + bi ставится в соответствие точка z (a; b). Такую плоскость назовем комплексной. Иными словами с каждой точ­кой z этой плоскости связывают радиус-вектор, определяющий положение данной точки. Угол между положительным направлением оси 0х и радиус-вектором, отсчитанным в направлении против часовой стрелки, называется аргументом.

Ось 0х на­зывается действительной осью комплексной плоскости.

Ось 0y называется мнимой осью комплексной плоскости.

Аргумент может принимать зна­чения из интервала -∞ < arg z < ∞. Наименьшее по модулю значение ар­гумента называется главным и обозначается arg z = φ.

Из рисунка следует, что:

, ,

Чтобы найти аргумент, необходимо учитывать, в какой четверти комплексной плоскос­ти находится число:

 I квадрант φ1 = arg z1 = φ;

 II квадрант φ1 = arg z1 = π - φ;

 III квадрант φ1 = arg z1 = π + φ;

 IV квадрант φ1 = arg z1 = 2π - φ;.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

так как z1 ∈ I квадранту.

Арифметические действия над комплексными числами

Сумма
Суммой комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = с + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i.
Таким образом:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Сумма комплексных чисел обладает свойствами:

 коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1

 ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

Произведение
Произведением комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число (ac - bd)+(ad + bc)i. Определение произведения устанавливается с таким расчетом, чтобы (a + bi) и (c + di) можно было перемножить как алгебраические двучлены, считая при этом, что i*i = -1.
Произведение комплексных чисел обладает свойствами:

 коммутативности: z1 * z2 = z2 * z1

 ассоциативности: (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)

 дистрибутивности: z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 * z3
На основании определения произведения комплексных чисел можно определить натуральную степень комплексного числа: z(в степени n); = z * z *... * z n раз.

Разность
Разностью комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комп­лек­сное число z = z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Частное
Частным от деления комплексного числа z1 на комплексное число z2 на­зывается такое число z, которое удовлетворяет условию z? z2 = z2? z= = z1.

Первого порядка.

Уравнение вида

 

F(x, y, y^/) = 0 (1.4)

называется уравнением первого порядка.

В простейших случаях оно может быть разрешено относительно

у^/=f(x,y). (1.4’)

Общее решение (1.4) имеет вид

у=j(х,С), (1.5)

где С - константа.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.

Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).

Если задать точку М₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием

y = у₀, х = х₀ и тогда

у₀ = j(х₀,С₀).

Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С₀).

В этом состоит задача Коши.

Задача Коши. Найти решение у = j(х) дифференциального уравнения (1.4’), удовлетворяющее начальному условию: у₀=j(х₀)

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

a2y'' + a1y' + a0y = 0

интегрируется следующим образом:

Пусть λ1,λ2 — корни характеристического уравнения.

a2λ2 + a1λ + a0 = 0,

Числовые ряды.

Определение ряда и его сходимостьВ настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел.

а₁, а₂, а₃,..., а_n,... (1.1)

Выражение вида

(1.2)

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,....

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).

Примеры.

аn = а×q^n-1,.

Понятно, что изучение функциональных рядов всегда можно свести к изучению числовых рядов, зафиксировав х = х₀.

Ряд (1.2) считается заданным, если мы знаем его общий член аn (то есть член, стоящий на n-ном месте). Из теории последовательностей мы знаем, что аn выражается как функция номера n.

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

(1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

Rn = a_n+1 + a_n+2 +... + a_n+i +..., (1.4)

Rn - остаток ряда.

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Необходимый признак сходимости ряда.

Числовые ряды - выражение типа

(1)

- члены ряда, - общий член ряда.

 

 

Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.

- называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.

Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.

Свойства рядов:

1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд. (с - const)

2) Если ряд (1) сходится и ряд сходится, то сходится.

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно.

Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Если не выполняется, то расходится.

Достаточное условие расходимости ряда: если предел или этот предел не существует, то ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда недостаточен для сходимости, поскольку существуют ряды, которые расходятся, но необходимый признак сходимости для них выполняется.

 

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Свойства

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Þ Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

Þ Пусть

Þ Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

функция нескольких переменных.

Функцией переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

— множество точек плоскости.

Частное и полное приращение

Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина?хz которая определяется соотношением?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у».?уz =f(x,?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина?Z которая определяется сотношением?z =f(x+?х,?у+y)-f(x,y)