![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Функция нескольких переменных.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Функция нескольких переменных. Функцией переменных на множестве стве ствами D и Y, при котором для любой точки
Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных
Частное и полное приращение Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина?хz которая определяется соотношением?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у».?уz =f(x,?у+y)-f(x,y) Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина?Z которая определяется сотношением?z =f(x+?х,?у+y)-f(x,y) Предел и непрерывность функции двух независимых переменных Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим Δх=х—х0, Δу=у—у0, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х0;у0). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0). Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0) є D, если выполняется равенство Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной Частные производные. Функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.
Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных. Пусть в некоторой области D имеем функцию Аналогично определяются и частные производные функции Градиент функции трех переменных. Градиентом функции трех переменных u = f (x, y, z) в точке A = (x0, y0, z0)
называется вектор, координаты которого равны частным производным функции в этой точке:
∂u ∂u ∂u grad u = ; ; . ∂x A ∂y A ∂z A
В направлении градиента функция имеет наибольший рост. Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул
20.Вычисление интегралов вида В этом случае полезно пользоваться следующими правилами: А) если m - нечетное положительное число, то вносим
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени:
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотрипример 7.
Примечание. В общем случае интегралы вида
Понятие интегральной суммы Понятие интегральной суммы естественно обобщается на случай знакопеременной функции. 25 Свойства определенного интеграла 1) Если f (x) = c = const, то
3) Если f1 (x) и f2 (x) интегрируемые на [a; b], то: 4) Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл только изменит свой знак на противоположный. 5) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. 6) Если f (x) - интегрируема в любом из промежутков [a; b], [a; c], [c; b], то: 8) Если f (x), g (x) - интегрируемые и f (x) ³ g (x) для x Î [a; b], b> a, то: 9) Если f (x) - интегрируема и m £ f (x) £ M, для x Î [a; b], b> a, то 10) (Теорема о среднем): Если ф-ия f (x) - непрерывная для x Î [a; b], b> a, то найдется такая точка x = c Î [a; b], что: Есть в тетради. Есть в тетради. Комплексная плоскость
Рассмотрим декартову систему координат x0y. Пусть каждому числу z = a + bi ставится в соответствие точка z (a; b). Такую плоскость назовем комплексной. Иными словами с каждой точкой z этой плоскости связывают радиус-вектор, определяющий положение данной точки. Угол между положительным направлением оси 0х и радиус-вектором, отсчитанным в направлении против часовой стрелки, называется аргументом. Ось 0х называется действительной осью комплексной плоскости. Ось 0y называется мнимой осью комплексной плоскости. Аргумент может принимать значения из интервала -∞ < arg z < ∞. Наименьшее по модулю значение аргумента называется главным и обозначается arg z = φ. Из рисунка следует, что:
Чтобы найти аргумент, необходимо учитывать, в какой четверти комплексной плоскости находится число: I квадрант φ1 = arg z1 = φ; II квадрант φ1 = arg z1 = π - φ; III квадрант φ1 = arg z1 = π + φ; IV квадрант φ1 = arg z1 = 2π - φ;. Найдем модуль и аргумент комплексного числа:
Арифметические действия над комплексными числами Сумма коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1 ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) Произведение коммутативности: z1 * z2 = z2 * z1 ассоциативности: (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3) дистрибутивности: z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 * z3
Разность Частное Первого порядка. Уравнение вида
F(x, y, y/) = 0 (1.4) называется уравнением первого порядка. В простейших случаях оно может быть разрешено относительно у/=f(x,y). (1.4’) Общее решение (1.4) имеет вид у=j(х,С), (1.5) где С - константа. Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых. Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y). Если задать точку М0(х0,у0), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием y = у0, х = х0 и тогда у0 = j(х0,С0). Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С0). В этом состоит задача Коши. Задача Коши. Найти решение у = j(х) дифференциального уравнения (1.4’), удовлетворяющее начальному условию: у0=j(х0) Уравнение второго порядка Однородное уравнение второго порядка: a2y'' + a1y' + a0y = 0 интегрируется следующим образом: Пусть λ1,λ2 — корни характеристического уравнения. a2λ2 + a1λ + a0 = 0, Числовые ряды. Определение ряда и его сходимостьВ настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм. Определение 1. Пусть задана последовательность чисел. а1, а2, а3,..., аn,... (1.1) Выражение вида
называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,.... Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...). Примеры. аn = а×qn-1,. Понятно, что изучение функциональных рядов всегда можно свести к изучению числовых рядов, зафиксировав х = х0. Ряд (1.2) считается заданным, если мы знаем его общий член аn (то есть член, стоящий на n-ном месте). Из теории последовательностей мы знаем, что аn выражается как функция номера n. Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда. (1.3) Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k) Rn = an+1 + an+2 +... + an+i +..., (1.4) Rn - остаток ряда. Определение 3. Ряд Если ряд сходится, то
Если Необходимый признак сходимости ряда. Числовые ряды - выражение типа (1)
Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда. - называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.
Свойства рядов: 1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд. 2) Если ряд (1) сходится и ряд 3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно. Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть Если не выполняется, то расходится. Достаточное условие расходимости ряда: если предел Необходимый признак сходимости ряда недостаточен для сходимости, поскольку существуют ряды, которые расходятся, но необходимый признак сходимости для них выполняется.
Определение Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a. Свойства Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример: У этой функции все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю. Формула Тейлора Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Теорема: Þ Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε) Þ Пусть Þ Пусть p — произвольное положительное число, тогда: Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша). функция нескольких переменных. Функцией переменных на множестве стве ствами D и Y, при котором для любой точки
Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных
Частное и полное приращение Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина?хz которая определяется соотношением?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у».?уz =f(x,?у+y)-f(x,y) Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина?Z которая определяется сотношением?z =f(x+?х,?у+y)-f(x,y)
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 328; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.167.138 (0.011 с.) |