![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование
Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций. Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:
здесь М(х)-многочлен, а Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей. Определение. Правильные рациональные дроби вида (1). (2). (3) (4) Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений: (1) (2) (3) = Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа: (4) Произведем преобразования:
Первый интеграл берется подстановкой Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде
полагая
(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно,
Преобразуем интеграл:
Интегрируя по частям ,будем иметь
Подставляя это выражение в равенство (1), получим = = В правой части содержится интеграл того же типа, что Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.
Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие Целой функцией называется многочлен (полином). Определение 2. Дробно-рациональной функцией называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Определение 3. Дробно-рациональная функция называется неправильной рациональной дробью, если степень числителя не меньше степени знаменателя(n m). Определение 4. Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Теорема:
Простейшие рациональные дроби. 1) 2) 3) Выделяем полный квадрат и делаем замену переменной:
Делаем обратную замену переменной и получаем окончательный ответ.
Вопрос 17 Интегрирование рациональных дробей Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи. 1.Случай. Корни знаменателя действительны и различны, т. е. F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d). В этом случае дробь и тогда 2. Случай. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные: В этом случае дробь Пример 1. 3. Случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные): В этом случае дробь Пример 2.Требуется вычислить интеграл
Следовательно,
Полагая х=1, получим 1=2С, С= Ѕ; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2. Приравнивая коэффициенты при
4. Случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные: В этом случае разложение дроби Пример 3. Требуется вычислить интеграл
Решение. Разлагаем дробь на простейшие: откуда Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1. Таким образом, получаем Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно: 1) через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа; 2) через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа 3) через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа 4) через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Вопрос 18 Универсальная тригонометрическая подстановка.
В то же время функция Теорема. Интеграл вида
В результате проведенных преобразований
Подстановка
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул
20.Вычисление интегралов вида В этом случае полезно пользоваться следующими правилами: А) если m - нечетное положительное число, то вносим
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени:
В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной
Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотрипример 7 .
Примечание. В общем случае интегралы вида
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.42.98 (0.013 с.) |