Неполные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:

или, или.

 

Отсюда.

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид, http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika_yakovenko/3/26.png т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение принимает вид

, т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид.

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение. Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:.

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение, которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если, то корни и - действительные различные числа. Если, то . Если же, т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

 

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию.

 

решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где — конкретные числа, то функция вида при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) называется общим решением дифференциального уравнения.

 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

 

(7)

 

Подстановка ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

 

,

 

,

 

Замечание. Функция называется однородной степени , если , где - некоторая константа. Например, функция является однородной функцией степени два, поскольку

 

А функция является однородной функцией нулевой степени однородности, так как

 

.

 

Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как

 

,

 

где - однородная функция нулевой степени однородности.

 

 

ТЕОРЕМА.(теорема Коши). Если функция f(х,y) и ее частная производная f'y(х,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения у'=f(x,у), удовлетворяющее условиям: у =у0 при х =х0 (6)

Первого порядка.

Уравнение вида

 

F(x, y, y^/) = 0 (1.4)

называется уравнением первого порядка.

В простейших случаях оно может быть разрешено относительно

у^/=f(x,y). (1.4’)

Общее решение (1.4) имеет вид

у=j(х,С), (1.5)

где С - константа.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.

Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).

Если задать точку М₀(х₀,у₀), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием

y = у₀, х = х₀ и тогда

у₀ = j(х₀,С₀).

Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С₀).

В этом состоит задача Коши.

Задача Коши. Найти решение у = j(х) дифференциального уравнения (1.4’), удовлетворяющее начальному условию: у₀=j(х₀)