Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

,

(3.2)

где и - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (3.2).

Если , то уравнение (3.2) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение:

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (3.2) ищется в виде

,

где - новая неизвестная функция от .

Пример 3.5. Решить уравнение:

.

(3.3)

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим однородное уравнение

,

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

(3.4)

где - неизвестная функция от . Подставляя (3.4) в (3.3), получаем

,

,

откуда

.

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

где - постоянная интегрирования.

Замечание 3.1. Может оказаться, что дифференциальное уравнения линейно относительно как функция от

.

Уравнение (3.2) может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

,

(3.5)

где и - неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно. Представляя (3.5) в (3.2), после преобразования получаем

.

(3.6)

Определяя из условия , найдем затем (3.6) функцию , а следовательно, и решение уравнения (3.2). В качестве можно взять любое частное решение уравнения , .

Пример 3.6. Решить задачу Коши:

,	(3.7)
.	(3.8)

Решение. Ищем общее решение уравнения (3.7) в виде , . Подставляя выражения для и в (3.7), будем иметь

,

или

.

(3.9)

Функцию находим из условия

, ,

разделяем переменные

,

интегрируем:

.

Вычислим интеграл , окончательно получаем

, откуда . Возьмем, например, частное решение , подставляя его в (4.9), получаем уравнение , из которого находим функцию :

,

следовательно, общее решение уравнения (4.7) будет

, или .

Используя начальное условие (3.8), получаем для нахождения уравнение , откуда . Таким образом, решение задачи Коши будет:

.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

,

где (при и это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 3.7. Решить уравнение Бернулли

,

Решение. Умножим обе части уравнения на :

.

Сделаем замену , тогда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение:

,

общее решение которого

.

Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения:

.

Замечание 3.2. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 3.8. Решить уравнение Бернулли

.

(3.10)

Решение. Ищем общее решение уравнения (3.10) в виде , . Подставляя выражения для и в (3.10), получим

,

или

.

(3.11)

Функцию находим из условия

, ,

разделяем переменные

,

интегрируем:

.

, откуда . Возьмем, например, частное решение , подставляя его в (3.11), получаем уравнение . Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменным, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

; ,

следовательно, общее решение уравнения (4.10) будет

.

Укажем некоторые видыдифференциальных уравнений, допускающие понижение порядка.

1. Уравнение вида . После -кратного интегрирования получается общее решение.

2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производной до порядка включительно:

(3.12)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда Уравнение (3.12) примет вид

Из последнего уравнения определяем , а затем находим из уравнения -кратным интегрированием.

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая функция от : . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по :

, и т.д.

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение -го порядка.

Пример 3.9. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем

,

,

.

Пример 3.10. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку , , тогда получим - уравнение с разделяющимися переменными.

, , .

Делая обратную замену, получаем , откуда .

Пример 3.11. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку , , тогда получим

, .

Рассмотрим два случая:

1. , , - особое решение.

2. ; ; ;

интегрируем обе части последнего уравнения, получаем

, , .

Учитывая, что ,

, .

После интегрирования получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения:

.

 

Особое внимание следует уделить линейнымдифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

(3.13)

где и - постоянные величины.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(3.14)

Уравнение вида

(3.15)

называется характеристическим уравнением для уравнения (3.14). Вид общего решения уравнения (3.14) зависит от корней характеристического уравнения. Обозначим эти корни через .

Если корни характеристического уравнения вещественные и , то общее решение уравнения (3.13) имеет вид

.

(3.16)

Если корни уравнения (3.15) вещественные и равные, то есть , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид:

.

(3.17)

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид:

.

(3.18)

Пример 3.12. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Находим корни , . Применяя формулу (3.16), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.13. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Корни уравнения . Применяя формулу (3.17), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.14. Найти общее решение уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение . Корни уравнения . В силу формулы (3.18) общее решение уравнения имеет вид:

.

 

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (3.13).

Теорема 4.1. Общее решение неоднородного уравнения (3.13) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3.14) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: .

 

В случае, когда правая часть уравнения (3.13) имеет вид

,

где и - многочлены степени и соответственно, частное решение неоднородного уравнения находится так называемым методом подбора. Вид частного решения следует искать в одной из следующих форм.

Сводная таблица видов частных решений