Физическая задача, приводящая к понятию дифференциального уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДУ,ЕГО ПОРЯДКА И РЕШЕНИЙ. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА: ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА,ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ.

ФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С некоторой высоты брошено тело массой m. Составить уравнение для скорости падения этого тела в любой момент времени от начала падения, если на него, кроме силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, прямо пропорциональная скорости падения.

РЕШЕНИЕ. В момент времени составляем уравнение падения тела, используя II закон Ньютона:

, где - масса тела, - ускорение тела, - скорость тела,

- равнодействующая всех сил, приложенных к телу в его центре масс.

Так как все векторы, обозначенные в задаче, являются коллинеарными, то уравнение падения тела можно записать в скалярной форме:

(*)

– это есть уравнение относительно искомой скорости V(t), так как оно выполняется в любой момент времени t.

Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции V(t). Решить это дифференциальное уравнение (далее ДУ) – это значит найти функцию V(t), удовлетворяющую ДУ при любом t. Для однозначного определения этой функции нужны еще так называемые начальные условия – это начальная скорость, с которой тело брошено с фиксированной высоты:

, где – момент времени, когда тело брошено, – число, равное модулю начальной скорости падения. Если же начальные условия не ставить, то дифференциальному уравнению (*) будет удовлетворять бесконечно много функций

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДУ И ЕГО ПОРЯДКА

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, выражающее связь между некоторой независимой переменной , неизвестной функцией и ее производными по . Самый общий вид ДУ: (1) Порядкомдифференциального уравнения называется порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

ПРИМЕРЫ

1) - ДУ II порядка относительно функции ;

2) - ДУ III порядка относительно функции ;

3) - ДУ III порядка относительно функции ;

4) – ДУ I порядка относительно функции .

ЗАМЕЧАНИЯ.

1. Чтобы уравнение было дифференциальным, в него могут явно не входить , , но обязательно входит хотя бы одна производная функции

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат неизвестную функцию, зависящую от одной переменной. Такие и будем рассматривать. Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называют дифференциальным уравнением в частных производных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДУ

Решением дифференциального уравнения называется любая функция, которая, будучи подставленной в ДУ, обращает его в тождество относительно аргумента. Различают три вида решений ДУ: общее, частное и особое. Общим решениемДУ n-ного порядка называется функция , зависящая от аргумента и произвольных постоянных и удовлетворяющая ДУ при любых значениях этих постоянных. Частным решениемДУ называется его решение, получающееся из общего решения этого ДУ при фиксированных значениях постоянных : . Особым решением ДУ называется такое его решение, которое не может быть получено из его общего решения ни при каких фиксированных значениях произвольных постоянных .

ПРИМЕР 1. Рассмотрим - ДУ I порядка относительно функции .

Его общим решением является функция ,так как при подстановке этой функции в ДУ получаем тождественно по и по :

- верно при любых и любых значениях .

Частными решениями рассматриваемого ДУ являются функции:

Особым решением является функция , так как она удовлетворяет ДУ, но не получается из общего решения ни при каком значении .

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

Для выделения частного решения из общего решения ставят так называемые начальные условия к дифференциальному уравнению. Для ДУ n -ого порядка эти условия имеют следующий вид:

,

(2)

где - это фиксированные числа.

Таким образом:

 количество начальных условий совпадает с порядком ДУ, следовательно, совпадает с количеством произвольных постоянных в общем решении ДУ;

 суть начальных условий для ДУ n -ого порядка состоит в том, что они задают при фиксированном значении независимой переменной значения неизвестной функции и всех её производных до (n- 1 ) -ого порядка включительно.

Подставляя начальные условия (2) в общее решение ДУ (1), определяют значения произвольных постоянных и тем самым переходят от общего решения ДУ к его частному решению. Задачу нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего поставленным начальным условиям, называют задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 2. Для ДУ предыдущего примера найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

РЕШЕНИЕ. Общее решение данного уравнения известно: .

Подставляя сюда значения и из начальных условий, получим равенство для определения значения : .

Возвращая теперь значение в общее решение, получим частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию: - это и есть решение поставленной задачи Коши.

Ответ: .

РЕШЕНИЕ

Разделяем переменные в данном ДУ, пользуясь свойством пропорции:

– получили ДУ с разделёнными переменными.

Интегрируем обе части ДУ с разделёнными переменными, добавляя постоянную :

.

В результате интегрирования получили общий интеграл исходного ДУ. Переход к общему решению возможен, если сможем выразить через и в явном виде. В данной задаче это возможно:

Ответ:

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть – частные решения ДУ (3). Подставив их в ДУ получим тождества по x:

(используем свойство линейности операции дифференцирования)

функция тождественно удовлетворяет исходному ДУ (3), следовательно, является его решением, ч.т.д.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1. В общем случае линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой части специального общего вида (2) частное решение ищется в следующем виде:

.

Здесь – большая из степеней многочленов и ;

-- целые многочлены степени k, взятые в самом общем виде с неопределенными коэффициентами;

r – это кратность чисел (α±iβ) как корней характеристического уравнения

(r = 0 – не являются корнями, r=1 – простые корни, r=2 – двукратные корни и т.д.).

2. Принцип суперпозиции (наложения) частных решений ЛНДУ позволяет расширить возможности работы по сформулированным правилам 1 и 2.

ПРИМЕР 4. Найти общее решение ЛНДУ

РЕШЕНИЕ. Находим : .

Находим : ,

где – подходит под второй специальный вид,

– подходит под первый специальный вид.

По принципу наложения частных решений составляем исходного уравнения , где удовлетворяет ДУ , удовлетворяет ДУ .

Находим : и - второй специальный вид, в котором ;

по правилу 2 составляем

и находим коэффициенты А и В:

таким образом, ;

проверка :

ДУ: – верно.

Находим : – первый специальный вид, в котором ;

по правилу 1 составляем и находим коэффициенты и :

;

ДУ: .

Ответ: .

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ВАРИАЦИИ

Функцию (4) будем дифференцировать и подставлять в ДУ (1):

;

так как для определения одной функции введены две функции и , то тем самым в задаче получился произвол, которым можно распорядиться удобным образом, например, в положить равным нулю сумму слагаемых, содержащих c₁' и c₂':

;

(7)

тогда первая производная упрощается, и находим вторую производную:

ДУ (1):

(7')

(здесь учтено, что и – это частные решения ЛОДУ (2)).

Таким образом, взяв в виде (4), получили для функций и два уравнения (7) и (7'). Объединим их в систему (5) и обсудим ее разрешимость:

– это система линейных алгебраических уравнений относительно c₁' и c₂';

главный определитель системы , так как и – линейно независимые частные решения ЛОДУ (2), поэтому их вронскиан ;

по теореме Крамера, система (5) имеет единственное решение.

Решив систему (5), получим производные неизвестных функций c₁' и c₂' одной переменной; сами функции можно восстановить по их производным с помощью неопределенного интеграла, то есть .

Обоснование метода вариации закончено.

ПРИМЕР 1. Найти общее решение ДУ .

РЕШЕНИЕ. Данное диф. уравнение имеет тип ЛНДУ с постоянными коэффициентами, поэтому его общее решение составляем по формуле , причем, можно найти с помощью характеристического уравнения.

Находим

. Находим - не подходит ни под первый, ни под второй специальный вид, поэтому можно найти только методом вариации; составляем в таком же виде, в каком получилось , но произвольные постоянные заменяем на функции от x: ;

функции с₁(х) и с₂(х) определяются функциональной системой уравнений (5),

которая в данной задаче имеет следующий вид: Решаем систему по формулам Крамера:

; ;

, .

Подставим в функцию : .

Так как -- это какое-нибудь частное решение данного неоднородного ДУ, то входящими в него константами интегрирования можно распорядиться любым удобным образом, например, положить . Найденное всегда можно подтвердить проверкой, если подставить его в исходное неоднородное ДУ. Ответ: – это общее решение данного ДУ.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1.Нормальная система ДУ вида (1) относительно n произвольных функций сводится методом исключения к одному ДУ n -го порядка, поэтому в общее решение системы должно войти ровно n произвольных постоянных, и для их нахождения нужно ставить n начальных условий

общее решение , начальные условия

2. Если в систему ДУ входят производные высших порядков, то ее всегда можно привести к нормальной форме введением вспомогательных функций, а только после этого просчитать порядок того ДУ, к которому сведется система методом исключения, а следовательно, и количество произвольных постоянных.

Пример 2.Рассмотрим механическое движение материальной точки ,

ускорение ,

– координаты движущейся точки (функции от t, t-время),

равнодействующая сила .

Запишем уравнение движения в скалярной форме и получим систему дифференциальных уравнений относительно функций , , :

Сводим систему к нормальной форме с помощью вспомогательных функций :

, .

Система в нормальной форме:

Эта система сведется к ДУ VI порядка и в ее общее решение будет входить 6 произвольных констант (точнее, не более 6, так как иногда система n уравнений сводится к одному ДУ более низкого порядка, чем n; это бывает в случае, когда среди уравнений системы нет независимости и часть из них является следствием других уравнений).

3. При решении нормальных систем ДУ методом повышения порядка сохраняется тип ДУ исходной системы, в частности, гарантированно сохраняется линейность, то есть если все ДУ системы являются линейными, то и сведение будет к линейному ДУ. Также сохраняется постоянство коэффициентов и однородность или неоднородность ДУ. Это дает возможность отдельно построить теорию решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Так можно рассмотреть нормальную систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами:

(4)

(в скобках написано выражение для случая неоднородных ДУ) неизвестные функции: ; - числа или const по t, называются коэффициентами системы линейных ДУ.

Решение такой однородной системы (4) естественно искать в виде набора экспонент

Здесь - это числа, которые подбираются из условия, что все функции x₁(t), x₂(t), …, x_n(t) удовлетворяют исходной системе ЛОДУ.

Подставив эти функции в систему (4), получим:

Это система линейных алгебраических уравнений относительно , причем недоопределенная, так как уравнений n штук, а неизвестных (n+1) штук.

Набор является тривиальным решением этой системы, но он приводит и к тривиальному решению системы ДУ . Для нахождения нетривиальных решений запишем систему как однородную относительно :

Для существования нетривиальных решений однородной системы необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был равен 0, то есть

.

Это равенство называется характеристическим уравнением для системы ДУ (4), оно является алгебраическим уравнением n -ной степени относительно числа k и, следовательно, имеет ровно n корней на множестве комплексных чисел С.

Далее по корням характеристического уравнения разрабатывается теория записи общего решения системы, аналогичная правилу составления ФСЧР и общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами n -го порядка.

4. Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами часто записывается и решается в матричном виде: (4) , где

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид , где - это единичная матрица порядка n. Работа с системой (4) становится более компактной.

5. Понятие фазового пространства.

Рассмотрим систему трех ДУ относительно трех функций , записанную в нормальной форме:

Решение этой системы всегда можно трактовать как траекторию движения точки с координатами в пространстве R ³, при этом решение системы является параметрическими уравнениями этой траектории движения.

Аналогично решение системы относительно n неизвестных функций можно трактовать как уравнение линии (траектории движения) точки в пространстве R ⁿ, которое и называется фазовым пространством для данной системы ДУ.

Такая трактовка дает возможность проиллюстрировать решения системы ДУ в виде некоторых линий в фазовом пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДУ,ЕГО ПОРЯДКА И РЕШЕНИЙ. ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА: ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА,ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ.

ФИЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С некоторой высоты брошено тело массой m. Составить уравнение для скорости падения этого тела в любой момент времени от начала падения, если на него, кроме силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, прямо пропорциональная скорости падения.

РЕШЕНИЕ. В момент времени составляем уравнение падения тела, используя II закон Ньютона:

, где - масса тела, - ускорение тела, - скорость тела,

- равнодействующая всех сил, приложенных к телу в его центре масс.

Так как все векторы, обозначенные в задаче, являются коллинеарными, то уравнение падения тела можно записать в скалярной форме:

(*)

– это есть уравнение относительно искомой скорости V(t), так как оно выполняется в любой момент времени t.

Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции V(t). Решить это дифференциальное уравнение (далее ДУ) – это значит найти функцию V(t), удовлетворяющую ДУ при любом t. Для однозначного определения этой функции нужны еще так называемые начальные условия – это начальная скорость, с которой тело брошено с фиксированной высоты:

, где – момент времени, когда тело брошено, – число, равное модулю начальной скорости падения. Если же начальные условия не ставить, то дифференциальному уравнению (*) будет удовлетворять бесконечно много функций