Приводящие к дифференциальным уравнениям

 

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи механики, физики, астрономии и других естественных наук, а также многие проблемы техники. Поясним на примерах, как возникают в исследованиях дифференциальные уравнения.

 

Задача 9.1.1.Найти уравнение кривой линии, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть M (x, y) точка касания. Так как равен тангенсу угла наклона к оси OX касательной, проведенной в точке кривой, то уравнение касательной будет следующим

.

Положим X = 0, тогда

и точка В имеет координаты . По условию точка касания делит отрезок АВ пополам, поэтому , . Последнее равенство принимает вид:

.

Соотношение является примером дифференциального уравнения. Оно содержит наряду с неизвестной функцией y и ее производную .

Функцию y = y (x) ¹ 0 из уравнения легко найти:

,

где С – произвольная константа (постоянная интегрирования), удобно ее взять в виде ln C. Тогда

.

Заметим, что уравнению удовлетворяет целое семейство кривых, зависящих от параметра С. Чтобы выделить какую-то одну кривую из семейства, надо указать константу С. Для этого достаточно задать на плоскости XOY точку (x ₀, y ₀), через которую эта кривая проходит. Тогда постоянную С, соответствующую этой кривой, найдем, положив в равенстве y = y ₀ при x = x ₀. Пусть y = 2 при x = 1, тогда

.

Таким образом, искомая кривая семейства, проходящая через точку (1, 2), определяется равенством

.

 

Задача 9.1.2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v ₀. Определить закон движения, предполагая, что тело движется только под влиянием силы тяжести.

Решение. Под влиянием силы тяжести тело движется с постоянным ускорением g. Ввиду того, что ускорение выражается производной второго порядка от пути по времени, из

.

Получили дифференциальное уравнение, содержащее производную 2-го порядка.

Интегрируя дважды, получим

,

.

Постоянные С ₁ и С ₂ определим из начальных условий.

Так как отсчет пути ведется от начального момента, то при t = 0

S = 0 и, следовательно, С ₂ = 0.

Так как при t = 0 начальная скорость , то из уравнения получаем C ₁ = v ₀.

Итак, зависимость пройденного телом пути S от времени t:

.

 

Задача 9.1.3.Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна А ₀. Найти стоимость оборудования по истечении Т лет.

Решение. Пусть A = A (t) - стоимость оборудования в любой момент времени t. Тогда - скорость обесценивания оборудования вследствие его износа. Из условия задачи следует, что

,

где k – коэффициент пропорциональности, взятый со знаком минус, так как стоимость убывает.

Из следует Þ Þ . Потенцируя, получаем:

.

Начальное условие: при t = 0 А = А ₀, поэтому , C = A ₀. Подставляя C = A ₀ в, получаем

.

Чтобы найти стоимость оборудования по истечении Т лет, подставляем в t = Т.

.

Как показано в рассмотренных примерах, если мы сумеем проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, то тем самым дадим ответы на вопросы задачи, которая привела нас к нему.

Поэтому основной задачей теории интегрирования дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений.

Заметим, что задачу интегрирования дифференциального уравнения можно понимать по-разному. В самой узкой постановке задачи ставится целью выражение искомых функций через элементарные функции. Эта задача, вообще говоря, не разрешима даже для самого простого уравнения , ибо, как известно, не всегда первообразная для элементарной функции представляет собой тоже элементарную функцию. В качестве примера можно взять уравнение

.

Несколько шире постановка задачи, при которой уравнение считается разрешенным, если оно приведено к квадратурам (т.е., к операциям взятия неопределенных интегралов). В этом смысле уравнение, очевидно, разрешимо. Все решения этого уравнения содержатся в формуле

.

Однако следует отметить, что уравнения, интегрируемые в квадратурах, составляют лишь незначительную часть всех дифференциальных уравнений. Так, например, очень важное во многих приложениях уравнение Бесселя

в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду любого заданного дифференциального уравнения, независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или в квадратурах.

 

 

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Определение 9.2.1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y (x) и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно).

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

.

Если уравнение можно записать в виде

,

то будем говорить, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной. Оно называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция y зависит от одной переменной x, называется обыкновенным. Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в частных производных. В данном модуле мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения и слово «обыкновенные» будем в дальнейшем опускать.

 

Определение 9.2.2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, входящей в уравнение.

Так, соотношения и – дифференциальные уравнения первого порядка, уравнение – второго порядка, а уравнение является дифференциальным уравнением четвертого порядка.

 

Определение 9.2.3. Решением (или интегралом)дифференциального уравнения называется всякая функция y = f (x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

 

Пример 9.2.1.Пусть дано уравнение .

Функция y = sin x, y = 2cos x, y = 3sin x - cos x и вообще функции вида y = C ₁sin x, y = C ₂cos x или y = C ₁sin x + C ₂cos x являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных С ₁ и С ₂; в этом легко убедиться, подставив указанные функции и их вторые производные в уравнение.

Всякому решению дифференциального уравнения или на плоскости отвечает некоторая кривая

y = y (x), x Î (a, b),

которая называется интегральной кривой (линией) дифференциального уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Дифференциальное уравнение, как правило, имеет бесчисленное множество решений (задачи 9.1.1 – 9.1.3 и пример 9.2.1 подтверждают это). Чтобы выделить какое-то одно решение дифференциального уравнения, необходимо задание некоторых дополнительных условий. Таким условием для уравнения является задание точки (x ₀, y ₀) плоскости XOY, через которую должна проходить интегральная кривая этого уравнения. В задаче 9.1.2 для дифференциального уравнения этими условиями явились начальный путь S = 0 при t = 0 и начальная скорость v = v ₀ при t = 0. В задаче 9.1.3 – начальная стоимость оборудования А = А ₀ при t = 0.