Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим сначала линейное неоднородное уравнение второго порядка

,

где а ₁, а ₂, f (x) – либо непрерывные функции, либо постоянные числа. Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.

 

Теорема 9.17.1.Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму какого-нибудь частного решения этого уравнения у_ч и общего решения у_одн соответствующего однородного уравнения

.

Из теоремы следует, что у=у_одн + у_ч.

Таким образом, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то основная задача решения неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-либо его частного решения.

Укажем общий метод нахождения частного решения неоднородного уравнения.

 

Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа)

Предположим известно общее решение однородного уравнения

,

где у ₁ и у ₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

,

рассматривая С ₁ и С ₂ как некоторые пока неизвестные функции.

Продифференцируем равенство:

.

Подберем искомые функции и так, чтобы

.

Тогда Þ .

Подставляя , , в, получим

или

.

Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, так как у ₁ и у ₂ – решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство имеет вид

.

Объединяя уравнения и, получаем для определения производных от неизвестных функций и систему:

Определитель этой системы , так как у ₁ и у ₂ – линейно независимые решения. Поэтому система имеет единственное решение. Решая ее, найдем (так как мы ищем частное решение, то постоянные интегрирования не берем).

Подставляя полученные функции и в, получим частное решение.

 

Пример 9.17.1.Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения

Þ Þ Þ Þ Þ .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

(, – частные решения однородного уравнения).

Составляем систему

Тогда , а общее решение

.

При отыскании частных решений иногда полезно использовать следующую теорему.

 

Теорема 9.17.2.Частное решение уравнения

,

где правая часть есть сумма двух функций и , можно представить в виде суммы , где и – частные решения, соответственно, уравнений

,

.

 

Упражнение.Доказать теорему самостоятельно.

Для уравнения третьего порядка

,

,

а система выглядит следующим образом

Аналогично можно найти частное решение и для уравнений более высокого порядка.

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения