Условия линейной зависимости и независимости решений

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений на примере уравнений второго порядка.

 

Теорема 9.15.1.Если у ₁ и у ₂ - два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

,

то у ₁ + у ₂ будет решением этого уравнения.

Доказательство. Так как у ₁ и у ₂ – решения, то

, .

Подставим у ₁ + у ₂ в левую часть:

, т.е. у ₁ + у ₂ тоже решение уравнения.

 

Теорема 9.15.2.Если у ₁ - решение уравнения и С - постоянная, то Су ₁ будет тоже решением этого уравнения.

Доказательство.

.

 

Определение 9.15.1.Два решения уравнения у ₁ и у ₂ будем называть линейно независимыми на отрезке , если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если . В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Иными словами, два решения у ₁ и у ₂ называются линейными зависимыми на , если , что при . В этом случае .

 

Пример 9.15.1.Пусть дано уравнение . Легко проверить, что функции , , 3 , 5 будут решениями этого уравнения. При этом функции и линейно независимы на любом отрезке, так как при изменении х. Функции же и 3 линейно зависимы, так как .

 

Определение 9.15.2.Если у ₁ и у ₂ - функции от х, то определитель

называется определителем Вронского, или вронскианом данных функций.

Для трех функций и т.д.

 

Теорема 9.15.3. Если функции у ₁ и у ₂ линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.

Доказательство. Действительно, если , где , то и

.

 

Теорема 9.15.4. Если решения у ₁ и у ₂ уравнения линейно независимы на отрезке , то определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Заметим, что теорема верна для дифференциального уравнения любого порядка до n включительно. Доказательство теоремы не приводим.

 

Теорема 9.15.5 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если у ₁ и у ₂ – два линейно независимых решения уравнения, то

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение.

Доказательство. Из теорем 9.15.1 и 9.15.2 следует, что функция будет решением при любых значениях С ₁ и С ₂.

Докажем далее, что каковы бы ни были начальные условия , , можно так подобрать значения произвольных постоянных С ₁ и С ₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло эти начальным условиям.

Подставляя начальные условия в , , будем иметь:

Из системы можно найти и единственным образом, так как определитель этой системы в силу линейной независимости у ₁ и у ₂. Частное решение будет удовлетворять начальным условиям. Теорема доказана.

Для уравнения общее решение имеет вид

,

где у ₁, у ₂, …, y_n – линейно независимые на функции, т.е. .

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения (однородного и неоднородного) с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такие методы существуют. Мы их сейчас и рассмотрим.