ДУ: порядок ДУ, общее и частное решение. Задача коши и ее геометрический смысл.

ДУ: порядок ДУ, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл.

Определение д.у. Порядок д.у. Общее и частное решение д.у.

1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные yʹ, yʹʹ,… y⁽ⁿ⁾.Символическая запись ДУ: F=(yʹ, yʹʹ,…y⁽ⁿ⁾)=0.

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

2. Порядком д.у. наз-ся порядок наивысшей производной, входящей в ур-е.

Если искомая функция у = f(x) есть функция одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным ДУ (иначе ДУ называется ДУ в частных производных).

Решением или интегралом ДУ называется всякая дифференцируемая функция y = j(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

График решения ДУ (график функции у = f(x)) называется интегральной кривой.

Все д.у. делятся на 2 класса:

1)обыкновенные-ур-я в кот искомая неизв ф-ция y явл-ся функцией одного аргумента y=f(x)

2)д.у.в частных производных- -//- нескольких аргументов z=f(x,y)

3. Решением д.у. явл-ся любая ф-ция y= j (x), кот при подстановке в ур-е обращает его в строгое рав-во.

№: y=x³; yʹ=3x²

3y-xyʹ=0^; 3x³-x3x²=0; 0=0

Поскольку реш-е д.у связано с операцией интегрирования,то это приводит к появлению произвольной постоянной С.

При реш-и д.у. первого порядка появл-ся одна произвольная постоянная С.

-//- n-ного порядка интегрирование повторяется n раз, поэтому в реш-и будет содержаться n произв пост С С₁, С₂, С₃,… С_n,

Общим решением д.у. n-ого порядка называется функция: y= j (x, С₁, С₂, С₃,… С_n), кот зависит от n-произвольных постоянных и удовл д.у. при любых значениях С₁, С₂, С₃,… С_n,

Частным реш-ем д.у. n-ого порядка называется любая функция, полученная из общего решения д.у. при конкретных значениях произвольных постоянных.

Для нахождения частного из общего необх исп заданные заранее начальные усл-я.

№: нач усл-я: при х=х₀→у=у₀, yʹ= у₀ʹ, yʹʹ= у₀ʹʹ

y⁽ⁿ⁾- порядок производной

yⁿ -степень

 

 

Задача КОШИ. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Задача отыскивания частного решения д.у. наз-ся решением задачи Коши.

Геометрически общее решение д.у. предст собой семейство кривых, кот назыв ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРИВЫМИ

y₀

x₀

Частное решение предст собой одну интегр кривую, прох через точку, заданную начальным условием.

Замечание. Решение ДУ, которое не может быть получено из общего решения ни при каких начальных условиях, называется особым.

Решить (проинтегрировать) ДУ – значит найти его общее решение и/или частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрический смысл теоремы Коши. Существует, и притом единственная функция yʹ=j(x), график которой проходит через заданную точку (х ₀, у ₀) (единственная интегральная кривая, проходящая через заданную точку).

 

Рассмотрим решение простейшего ДУ первого порядка yʹ=f(x)

Решение такого уравнения сводится к интегрированию функции, стоящей в правой части уравнения

y=∫ f(x)dx+C

Пример. Общее решение дифференциального уравнения

y¢ – 3y = 0 имеет вид y(x) = Ce^3x. Найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = e³.

Решение.

Значение произвольной постоянной С, соответствующее искомому частному решению, получается в результате подстановки в общее решение заданных начальных условий: e³ = C×e³, откуда С = 1. Подставляя полученное значение С = 1 в общее решение, найдем частное решение y = e^3x, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

 

 

ДУ первого порядка: определение, типы, общее и частное решения.

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

ДУ первого порядка – уравнение вида: F(x,y, yʹ)=0 где х – независимая переменная; у – искомая функция; у¢ – ее производная.

Решением д.у. первого порядка назыв функция y=j(x,С) зависящая от одной произвольной постоянной С и кот при подстановке в ДУ обращает его в верное равенство. (и удовлетворяющая ДУ при любом конкретном значении С)

Частным реш-ем ДУ первого порядка является функция y=j(x,С₀) получаемая из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.

Соотношение вида Ф(х,у,С)=0 называется частным интегралом ДУ первого порядка.

Если ДУ первого порядка разрешено относительно производной yʹ=f(x,у), оно называется ДУ решенным относительно производной.

Другие формы записи ДУ первого порядка: dy/dx= f(x,у), P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0

Равенство вида Ф(х,у,С)=0 неявно задающее общее решение ДУ, называется общим интегралом ДУ.

Решение ДУ в виде общего интеграла получают, когда выразить у из соотношения Ф(х,у,С)=0 в элементарных функциях не представляется возможным.

Однородные ДУ первого порядка

О. Уравнение первого порядка yʹ=f(x,у), называется однородным относительно x и y, если функцию f(x,у) можно представить как функцию отношения y/х, т.е. в виде f(x,у)=j(y/х),

Существует еще один признак однородного уравнения. Если уравнение yʹ=f(x,у) или уравнение P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 не меняется при замене x на λx и у на λу, то такие уравнения называются однородными.

Подстановка y/х=t→y=tx→ yʹ=tʹx+t приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: tʹx+t=j(t)

Разделив переменные, получим: dt/(j(t)-t)=dx/х

Интегрируя последнее уравнение, найдем: ∫dt/(j(t)-t)=∫dx/х

Подставляя после интегрирования вместо t отношение у/х, получим интеграл уравнения.

 

Линейные ДУ первого порядка

1.О. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной yʹ, т.е. уравнение вида:

yʹ+ P(x) ×y=Q(x),

где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Если правая часть данного ур-я =0, т.е. Q(x) =0, то такое ДУ yʹ+ P(x) ×y=0 называется однородным линейным ДУ первого порядка.

yʹ+ P(x) ×y=Q(x) - неоднородное ЛДУ первого порядка

Линейным данное ур-е называется потому что искомая функция у и ее производная yʹ входят в первую степень и не содержат членов содержащих y×yʹ

Решение ЛДУ 1ого порядка.

2.1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Последовательность решения ЛНДУ методом Лагранжа заключ в следующем:

В начале решается соответствующее исходному неоднородному ДУ однородное ДУ

yʹ+ P(x) ×y=0

dy/dx=- P(x) ×y |×dx |:y

∫dy/y=- ∫P(x) ×dx

ln|y|=-lne ^{P(x) ×dx}+ln|C|

|y|=| C×e^{-∫ P(x) ×dx}|

y= ±C×e^{-∫ P(x) ×dx} ±C=C₁

y= C₁×e^{-∫ P(x) ×dx}

с этого момента начинается вариация произвольной С₁

С₁=С₁(х) -т.к. С₁-любое значение

Тогда: y= C₁(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}

Будем полагать что данное решение является решением иходного неоднородного ДУ, подставим его в yʹ+ P(x) ×y=Q(x) и определим закон изм-я произв постоянной С₁(х).

Для этого найдем производную yʹ

yʹ=производная первого на второе+производная второго на первое(y= C₁(х)×e^{-∫ P(x) ×dx})

yʹ= C₁ʹ(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}- C₁(х)×Р(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}

подставим полученные выражения в yʹ+ P(x) ×y=Q(x)

yʹ= C₁ʹ(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}- C₁(х)×Р(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}

y= C₁(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}, тогда:

C₁ʹ(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}- C₁(х)×Р(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}+ P(x)×C₁(х)×e^{-∫ P(x) ×dx} =Q(x)

C₁ʹ(х)×e^{-∫ P(x) ×dx}=Q(x) |× e^{∫P(x) ×dx}

C₁ʹ(х)= Q(x)× e^{∫P(x) ×dx}

d C₁(х)/dx= Q(x)× e^{∫P(x) ×dx} |×dx

∫d C₁(х)= ∫Q(x)× e^{∫P(x) ×dx}×dx

C₁(х)= ∫Q(x)× e^{∫P(x) ×dx}×dx +C₂

Подставим полученное выражение в выражение y= C₁×e^{-∫ P(x) ×dx}

y=(∫Q(x)× e^{∫P(x) ×dx}×dx +C₂)×e^{-∫ P(x) ×dx}

пример:

1) уʹ+3у=е^2х

1. уʹ+3у=0

у=С₁×е^-3х (это реши сам)

2. пусть С₁ изм по вариации С₁=С₁(х), тогда реш-е однородного ур-я можно записать в виде:

у=С₁(х)×е^-3х-будем полагать что это общее решение исходного неоднородного ду.

3. Подставим его в исходное неоднор ур-е и найдем закон изменения С₁(х).

уʹ= С₁ʹ(х)×е^-3х-3 С₁(х)×е^-3х

4. подставим значения у и уʹ в исходное:

С₁ʹ(х)×е^-3х-3 С₁(х)×е^-3х+3 С₁(х)×е^-3х=е^2х

С₁ʹ(х)×е^-3х=е^2х |×е^3х

С₁ʹ(х)= е^5х

5. Разделим переменные:

d C₁(х)/dx= е^5х |×dx

∫d C₁(х)= ∫ е^5х ×dx

C₁(х)=1/5 е^5х +С₂

6. Подставим значение C₁(х) в у=С₁(х)×е^-3х. получим:

у=(1/5 е^5х +С₂) ×е^-3х

 

Метод Якова-Бернулли

Будем искать решение уравнения yʹ+ P(x) ×y=Q(x) в виде произведения двух функций y=uv, где u=u(x), v=v(x)- непрерывные ф-ции

Подберем такие функции u=u(x) и v=v(x), чтобы их произведение удовлетворяло исходному уравнению, т.е. превращало бы его в тождество.

Подставим в уравнение y=uv, yʹ=uʹv+ uvʹ:

uʹv+ uvʹ+Р(х)uv= Q(x)

или

uʹv+ u(vʹ+Р(х)v)= Q(x)

Выберем функцию v такой, чтобы vʹ+Р(х)v=0 из чего автоматически следует, что uʹv= Q(x)

Эти два условия превращают уравнение в тождество, поэтому для решения уравнения достаточно решить простую систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Решая первое уравнение системы, найдем функцию v (при интегрировании будем считать С = 0).

Подставив во второе уравнение системы найденную функцию v=v(x), решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u, общее решение которого u=u(x,С). Следовательно, искомое общее решение уравнения будет иметь вид: y=v(x) × u(x,С).

 

Замечание. В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно у, а относительно х, т.е. имеет вид: dy/dx+ P(у) ×х= Q(x)

Для интегрирования такого уравнения используется описанный выше метод, где неизвестной функцией является х=х(у)

 

Виды случайных событий

Основные понятия ТВ: испытание, случайное событие и вероятность случайного события.

Испытание – опыт, эксперимент, наблюдение явления.

Событие – результат (исход) испытания.

Определение Случайное событие – всякое событие, которое в результате испытания(опыта) может произойти, либо не произойти.

Обозначение: A, B, C, D …

Случайные события. Классификация событий.

Событие- результат опыта(№:стрельба)

Событие назыв ДОСТОВЕРНЫМ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)

Невозможное событие -которое в рез-те опыта не сможет произойти(№:при выбрасывании 1 игральной кости сумма будет >6)

D -достоверное событие

U -невозможное событие

2 события называются совместными, ели при испытании появление одного из них не исключает появление другого(№:при однократ бросании игральн кости выпадение цифры 2 и событие выпадения четного числа – СОВМЕСТНЫ)

Несовместные события- ели при испытании появление одного из событий исключает появление другого(№:выстрел-попадание и промах)

Полной группой событий называют неск событий,таких что в рез-те опыта непременно произойдет одно из них.(№:игральная кость: A-«1», B-«2», C-«3», D-«4», T-«5», F-«6»,)

Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Классический

Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле:

Р(А)=m:n

m-общее число возможных случаев(общ число случаев)

n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев)

благоприятствующий случай- если его появление влечет за собой событие

пример:

1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара

А-событие вынуть белый шар.

Р(А)=m:n=3:7-0,43(43%)

m=3,n=3+4

 

2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости

А-событие выпад-я четн числа очков

Р(А)=m:n=3:6=0,5(50%)

m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости)

n=6(всего цифр)

 

Геометрический

Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны.

Р(А)=Wm:Wn

Wm-размер всей площади

Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А.

Примечание:

Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t)

пример:

1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не <,чем l

А-событие,что произошло в т.С→Р(А)

Р(А)= Wm:Wn=(L-l):L

 

Статистический

Частотой появл-я события А назыв отношение числа его появл-й к числу произвед опытов

F(A)=m:n

P(A)=lim f(A) (внизу под lim n→∞)=lim m:n(внизу под lim n→∞)

 

Перестановка

Перестановками из n элементов назыв всевозм комбинации из этих элементов,отлич друг от друга порядком располож-я элементов.

Рn=1×2×3…×n=n!(эн-факториал)

Пример:

1) 1,2,3

123; 321; 231; 213; 132; 312

Р₃=3!=1×2×3=6 Ответ:6

2) В ауд 5 столов. Сколькими способами м рассад 5 чел.

Р₅=5!=120. Ответ: 120

Размещение

Размещениями из n элементов по m элементов называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и различающиеся между собой элементами или их расположением.

А_n^m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

А_n^m=P_n:P_m-n

Пример:

1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ.

n=10 (0,1,2..9), m=4

A₁₀⁴=10!:(10-4+1!)=10×9×8×7=5040

Ответ: 5040

3. Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m элементов (m < n) называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом.

С_n^m= А_n^m: P_m=n!:(m!×(n-m)!)

n!-кол-во чисел

m!×(n-m)!-кол-во групп

пример:

1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета?

m=2

C₃²-число возм-тей вытянуть 2 белых шара

C₃²=3!:(2!1!)=3

C₇²-число возм-тей вытянуть 2 черных шара

C₇²=21

С=C₃²+C₇²=21+3=24. Ответ: 24

Теорема сложения.

Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В

Пример:

1) А-событие вынуть из колоды красную карту

В-событие вынуть туза

(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)

С=А+В

Теорема 1. Сложение вероятностей 2х несовместных событий

Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:

РS(сверху n,снизу i=1)А_i=S(сверху n,снизу i=1) Р(А_i)

Пример:

1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон

Вероятность попадания в первую зону-0,1

Во вторую-0,3

В третью – 0,4

Определ вероятность попадания в мешень.

1. Обозначение событий и их вероятностей.

А₁-событие попадания в первую зону

А₂-во вторую

А₃-в третью

А-событие попадания в мешень

2. Составим расчетную формулу:

А=А₁+А₂+А₃

А_1,А_2,А₃-несовместные события

Р(А)= Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)

3. Расчет:

Р(А)=0,1+0,3+0,4=0,8(80%)

 

Противоположные события -если они несовместные и образуют полную группу.

А(с – сверху)- противоположное событие

 

Следствие 1 из теоремы 1:

Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1

Док-во:

Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)

* Событие назыв достоверным,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)

События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:

Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1

Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:

p+q=1,

где р - вероятность того, что событие А произошло; q - вероятность того, что событие А не произошло.

Следствие 2 из теоремы 1:

Если событие А₁,А₂, … А_n образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1

S(сверху n,снизу- i=1) Р(А_i)=1

* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице

Пример:

1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:

Р(А с -)=1-Р(А)=1-0,8=0,2(20%)

Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.

 

Следствие 1

Если события А₁,А₂, … А_n-равновероятны, т.е. вероятность

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р_у, то

Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А_i)=Рⁿ

Следствие 1 (совместны)

Если события А₁,А₂, … А_n-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:

Р_>=1=1-(1- Р(А₁))(1-Р(А₂))…(1-Р(А_n))

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р

Р_>=1=1-(1- Р)ⁿ

Пример:

1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.

а) случай параллельного соединения

б) последовательного

если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6

решение:

1. Обозн событий:

А₁-событие исправной работы 1ого элемента

А₂-второго

2. Расчет формулы:

а) А=А₁+А₂(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий:

Р(А)=Р(А₁)+Р(А₂)-Р(А₁×А₂)

Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.

б) А=А₁×А₂

Р(А)=Р(А₁)×Р(А₂)

3. Расчеты:

а) Р(А)=0,5+0,6-0,5*0,6=0,8(80%)

б) Р(А)=0,5*0,6=30%

Формула полной вероятности.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

 

Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н₁,Н₂, … H_n образующих полную группу несовместных событий

Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:

Р(А)=S(сверху n,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i)

Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.

По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу
Пример:

1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?

1. Обозн событий:

А-событие, что вынутый шар белый

Н₁- гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н₂-из второй, Н₃-из третьей.

2. Расчет формула:

Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 урны

3. Расчеты:

Р( Н₁ )= Р( Н₂ )= Р( Н₃ )=1/3- вероятность что он подойдет к урне

Р(А/ Н₁ )=4:(4+6)=0,4(40%)

Р(А/ Н₂ )=3/8

Р(А/ Н₃ )=1

Р(А)=1/3*4/10+1/3*3/8+1/3*1=59%

*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.

2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.

1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака

Н₁-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н₂-со второй

2. Расчетная формула: Р(А)= S (сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i) × Р(А/Н_i) *2-т.к. 2 фабрики

3. Р( Н₁ )* Р( Н₂ )=3/4*1/4

Р(А/ Н₁ )=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…

Р(А/ Н₂ )=1-0,05=0,95

Р(А)=9/10*3/4+1/4*95/100=91%

 

3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.

1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт

Н₁-гипотеза,изделие 1ого вида Н₂-2ого вида Н₃-3его вида

2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 вида изделий

3. Р( Н₁ )=160/950

Р( Н₂ )= 430/950

Р( Н₃ )=360/950

Р(А)= 160/950*0,9+430/950*0,8+360/950*0,6=74%

Теорема гипотез (формула Байеса)

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

 

Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.

Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:

Р(Н_i /А)= (Р(Н_i)× Р(А/Н_i)):(S(сверху n,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.

Пример:

1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?

1. Обозн событий и их вероятностей:

А-событие попадания в цель

Н₁-гипотеза,из опт винтовки

Н₂-без оптики

2. Расчетн формулы:

Вероятность гипотезы Н_i до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:

Р(Н₁ /А)= (Р(Н₁)× Р(А/Н₁)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

Р(Н₂ /А)= (Р(Н₂)× Р(А/Н₂)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

3. Расчеты:

Р(Н₁)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок

Р(Н₂)=2/5

Р(А/Н₁)=95/100

Р(А/Н₂)=70/100

Р(Н₁ /А)=(3/5*95/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=57/85

Р(Н₂ /А)=(2/5*70/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=28/85

Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.

2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.

1. А-событие что деталь небрак

Н₁-гипотеза,что с первого конвеера

Н₂-со второго

Н₃-с третьего.

2. Р(Н₃ /А)= (Р(Н₃)× Р(А/Н₃)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

3. Р( Н₁ )=m/n=150/(150+300+350)=150/800

Р( Н₂ )= 300/800

Р( Н₃ )=350/800

Р( Н₁ )+Р( Н₂ )+Р( Н₃ )=1

Р(А/Н₁)=1-0,3=0,7

Р(А/Н₂)=1-0,2=0,8

Р(А/Н₃)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.

Р(Н₃ /А)=(7/16*8/10):(3/16*7/10+3/8*8/10+7/16*8/10)=44,8%

Следствие 1

Вероятность появл-я события хотя бы 1 раз в серии из n испытаний определяется по формуле:

P_n(m>=1)=1-(1-p)ⁿ

Р- вероятность попадания при 1 выстреле

1-р-вероятность промаха -//-

 

Следствие 2

Кол-во испытаний, опытов n необходимых д/появления события А хотя бы 1 раз с задан вероятностью опред по формуле:

(1-p)ⁿ =1-P_n(m>=1)

P_n(m>=1)- надежность

n×lg(1-p)=lg(1-P_n(m>=1))

n=(lg(1-P_n(m>=1)): lg(1-p)

Ряд распределения

Х	х1	Х2	…	хn
pi	p1	p2	…	pn

 

-возможные значения вероятностей

-событий

 

2. Многоугольник распределения -графическое изображение выражения ряда распределения.

3. Функция распределения -вероятность события сост в том, что случайная величина Х примет значение меньшее фиксируемого значения х.

* вероятность не м.б. >1

Свойства:

1. Возрастающая по своему физическому смыслу

2. F(-∞)=0

F(+∞)=1

3. F(x₁)= P(Х<x₁)=Р(-∞<X<х₁)

F(x₂)= P(Х<x₂)=Р(-∞<X<х₂)

Р(х₁<=X<x₂)= F(x₂)-F(x₁)

Закон Пуассона

Распределение Пуассона- предельное распределение,к кот стремится биномиальное распределение. При увел числа n опытов и одновременном уменьшении вероятности появления события в одном опыте.

n→∞, p→0

закон Пуассона часто называют ЗАКОНОМ РЕДКИХ СОБЫТИЙ, т.к. вероятность столь мала.

СВ X имеет распределение Пуассона если ее возможные значения в серии из n испытаний: X 0,1,2,…m, … а соответствующие им вероятности: Р_m= P(X=m)=(a^m:m!)×e^-a

a-параметр закона Пуассона a=n*p

e-иррац число (2ой замечат предел) 2<e<3

n-число которое примет х

Хар-ки закона:

M(x)=a-мат ожидание

Dx=a-дисперсия

σ_ч=√ a-среднее квадратическое отклонение

на практике данный закон применяется при многократном контроле продукции прибором высокой надежности (многокр контроль m →∞, p→0, вероятность отказа стрм к 0)

 

Характеристики положения СВ

Хар-ки рассеивания CВ

Характеристики положения характеризуют положение центра рассеивания СВ

В качестве этих хар-к исп-ся:

а) математическое ожидание СВ

б) медиана СВ

в) мода СВ *все они имеют размерность.кот характеризуют величины

математическое ожидание СВ -среднее ожидаемое СВ относительно которого происх разброс всех возможных значений СВ.

M[x], M(x) m_x

Мат ожидание равно сумме произведений всех возможных значений СВ на соотв им вероятность.

M[x]=S(сверху n, снизу i=1)x_i*p_i -дискретная СВ

m_x=∫(сверху +∞, снизу -∞)×хf(x)dx –непрерывная СВ

f(x)- плотность распределения СВ

f(x)dx- элемент вероятности попадания на прямую шириной dx

Свойства мат ожидания:

1) Мат ожидание суммы СВ равно сумме их ожиданий:

M[X+Y]= M[X]+ M[Y]

2) Общий множитель можно выносить за скобки:

M[сY]= с*M[X], с=const

Медиана СВ -значения СВ,при кот вероятность события что СВ примет значение равное Х меньше медианы равна вероятности события что СВ Х примет значение больше медианы.

Обозначение Ме(Х) Ме[Х]

Мода СВ- наиб вероятное значение СВ,т.е. такое знач-е СВ,которому соответствует большая вероятность.

Обоз- е: Мо(Х)

Дисперсия

ДУ: порядок ДУ, общее и частное решение. Задача Коши и ее геометрический смысл.