ДУ с разделяющимися переменными и его решение.

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

О. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида yʹ=f₁(x) f₂(у), где правая часть уравнения есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. (ф-ции f₁(x) f₂(у) -непрерывные)

* непрерывная функция — функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы.

Схема интегрирования такого уравнения:

1. Представим производную искомой функции в виде yʹ=dy/dx:

dy/dx= f₁(x) f₂(у)

2. Умножим обе части уравнения на dx:

dy = f₁(x) f₂(у) dx

3. Разделим переменные, поделив обе части уравнения на f₂(у) ≠0, выражения, содержащие y расположим влевой части неравенства, а х -в правой.:

(1/ f₂(у)) dy = f₁(x) dx

4. Интегрируем обе части. Равенство (1/ f₂(у)) dy = f₁(x) dx можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х, получим: ∫ (1/ f₂(у)) dy = ∫f₁(x) dx

Это соотношение связывает искомую функцию y, независимую переменную x и произвольную постоянную С, т.е. является общим интегралом уравнения yʹ=f₁(x) f₂(у),

 

*у явл-ся функцией х, если каждому допустимому значению х соотв единств значение у

ДУ второго порядка, его общее и частное решение.

Простейшее ДУ второго порядка и его решение.

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

Простейшим дифференциальным уравнением 2 -го порядка называется уравнение вида yʹʹ= f(x)

Его общее решение можно получить с помощью 2 последовательных интегрирований:

y^(n-1)=уʹ= ∫f(x)dx+C₁= f₁(x) +C₁

y^(n-2)=у= ∫(f(x)dx+C₁)dx=∫f₁(x)dx+ C₁∫dx= f₂(x) +C₁x+C₂

Получим общее решение уравнение, в котором количество произвольных постоянных равно порядку уравнения.

Частным реш-ем д.у. n-ого порядка называется любая функция, полученная из общего решения д.у. при конкретных значениях произвольных постоянных.

 

Найти общее решение уʹʹ=cosx

yʹ=∫cosxdx=sinx+C₁

y=∫(sinx+C₁)dx=-cosx+C₁x+C₂

*если бы в условии задачи были данные у(а)=b, где у=b при х=а, то мы бы нашли и частное решение данного д.у. J

Линейные ДУ второго порядка: определение, виды.

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

О. ур-е уʹʹ+р(х)уʹ+q(x)y=f(x) где р(х), q(x), f(x) – непрерывные функции, называется ЛДУ второго порядка

* непрерывная функция — функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы.

уʹʹ+р(х)уʹ+q(x)y=0- однородное ЛДУ второго порядка

О. ур-е вида: уʹʹ+р×уʹ+q×y=f(x), где p, q – действительные числа, f(x) – непрерывная функция, называется ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

* действительное число (вещественное число), любое положительное, отрицательное число или нуль.

Решение ЛДУ 2ого порядка с пост коэфф.

Пусть данo: уʹʹ+р×уʹ+q×y=f(x)

Вначале решается (нах-ся общее решение) ЛОДУ 2ого порядка соответствующее исходному

уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

общее реш-е ЛОДУ 2ого порядка с ПК будем искать в виде:

y=e^kx (Л.Эйлер), где k -некоторое число

необходимо подставить данное решение в ЛОДУ уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

для этого возьмем уʹ и уʹʹ

уʹ=(e^kx)ʹ=k× e^kx

уʹʹ=(k× e^kx)ʹ= k²× e^kx

подставим в ЛОДУ уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

k²× e^kx+р× k× e^kx+q× e^kx=0

e^kx(k² + р+q)=0

т.к. e^kx≠0 никогда, то:

k² + р+q=0 – полученное квадратное уравнение- характеристическое ур-е ЛОДУ 2ого порядка (т.к. оно определяет характер решения). Оно получается путем замены уʹ и уʹʹ

* необх условие интегрирования – непрерывность функции.

При решении характеристического уравнения возможны следующие варианты:

1) k₁ и k₂ – действительны и различны. т.е. K₁≠k_2. В этом случает общее решение ЛОДУ 2ого порядка будет иметь вид:

y=C₁× e^k1x+ C₂× e^k2x

2) Корни характеристического уравнения действительны и одинаковы. В этом случае -// k₁=k₂=k

y=C₁× e^kx+ C₂×x e^kx= e^kx (C₁+ C₂x)

3) Когда K₁ и k₂ комплексносопряженные (Д<0)-дейсвительные части одинаковые а мнимые различаются одним знаком.

k₁=a+ib

k₂=a-ib, где a- действительная часть, b- мнимая, i- мнимая единица. В этом случае -//-

y= e^ax (C₁×cosbx+ C2sinbx)

Решение ЛОДУ второго порядка с ПК

Д.у.- ур-е в кот неизвестная ф-ция y нах под знаком производной (№: yʹ+5y=3x)

О. ур-е вида: уʹʹ+р×уʹ+q×y=f(x), где p, q – действительные числа, f(x) – непрерывная функция, называется ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

* непрерывная функция — функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы.

* действительное число (вещественное число), любое положительное, отрицательное число или нуль.

Решение ЛДУ 2ого порядка с пост коэфф.

Пусть данo: уʹʹ+р×уʹ+q×y=f(x)

Вначале решается (нах-ся общее решение) ЛОДУ 2ого порядка соответствующее исходному

уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

общее реш-е ЛОДУ 2ого порядка с ПК будем искать в виде:

y=e^kx (Л.Эйлер), где k -некоторое число

необходимо подставить данное решение в ЛОДУ уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

для этого возьмем уʹ и уʹʹ

уʹ=(e^kx)ʹ=k× e^kx

уʹʹ=(k× e^kx)ʹ= k²× e^kx

подставим в ЛОДУ уʹʹ+р×уʹ+q×y=0

k²× e^kx+р× k× e^kx+q× e^kx=0

e^kx(k² + р+q)=0

т.к. e^kx≠0 никогда, то:

k² + р+q=0 – полученное квадратное уравнение- характеристическое ур-е ЛОДУ 2ого порядка (т.к. оно определяет характер решения). Оно получается путем замены уʹ и уʹʹ

* необх условие интегрирования – непрерывность функции.

При решении характеристического уравнения возможны следующие варианты:

4) k₁ и k₂ – действительны и различны. т.е. K₁≠k_2. В этом случает общее решение ЛОДУ 2ого порядка будет иметь вид:

y=C₁× e^k1x+ C₂× e^k2x

5) Корни характеристического уравнения действительны и одинаковы. В этом случае -// k₁=k₂=k

y=C₁× e^kx+ C₂×x e^kx= e^kx (C₁+ C₂x)

6) Когда K₁ и k₂ комплексносопряженные (Д<0)-дейсвительные части одинаковые а мнимые различаются одним знаком.

k₁=a+ib

k₂=a-ib, где a- действительная часть, b- мнимая, i- мнимая единица. В этом случае -//-

y= e^ax (C₁×cosbx+ C2sinbx)

Предмет и задачи теории вероятностей. Области применения методов теории вероятностей.

Теория вероятностей- мат наука, изучающая кол-венные закономерности МАССОВЫХ случ явлений.

Предмет ТВ:Массовое случайн явл-е -при неоднократ воспроизведении протекает каждый раз несколько по иному(№:бросание монеты, кубика,изгот детали на станке,стрельба)

Теория вероятностей начала развиваться как теория азартных игр в 16–17вв. (Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс). Следующий этап развития связан с именем Я. Бернулли. Дальнейшими успехами ТВ обязана А. Муавру, П. Лапласу, К. Гауссу, С. Пуассону. Наиболее плодотворный период развития ТВ связан с именами математиков русской школы: П.Л. Чебышева и его учеников А.А Маркова и А.М. Ляпунова, последующее развитие – с именами С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, В.И. Романовского, Н.И. Смирнова, Б.В. Гнеденко.

Закономерности случайных явлений носят вероятностный характер. Эти закономерности могут проявиться только при многократном повторении эксперимента, поэтому чрезвычайно важным в ТВ является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента (или массовость явления).

Задачи ТВ: количественная оценка случайных явлений и прогнозирование их течения.

Области применения методов ТВ

1. Естественные науки, техника:

– математическая обработка результатов измерений (теория ошибок);

– прогнозирование (погоды, надежности приборов и т.п.);

– описание поведения большого количества частиц (статистическая физика).

2. Экономика (экономическая статистика), страховое дело и т.п.

3. Статистика народонаселения.

4. Массовое производство (статистический контроль качества изделий).

5. Массовое обслуживание (ТМО).

6. Военное дело (теория стрельбы).

Основные элементы теории вероятностей.

Случайные события: понятия, виды случайных событий.

Виды случайных событий

Основные понятия ТВ: испытание, случайное событие и вероятность случайного события.

Испытание – опыт, эксперимент, наблюдение явления.

Событие – результат (исход) испытания.

Определение Случайное событие – всякое событие, которое в результате испытания(опыта) может произойти, либо не произойти.

Обозначение: A, B, C, D …

Случайные события. Классификация событий.

Событие- результат опыта(№:стрельба)

Событие назыв ДОСТОВЕРНЫМ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)

Невозможное событие -которое в рез-те опыта не сможет произойти(№:при выбрасывании 1 игральной кости сумма будет >6)

D -достоверное событие

U -невозможное событие

2 события называются совместными, ели при испытании появление одного из них не исключает появление другого(№:при однократ бросании игральн кости выпадение цифры 2 и событие выпадения четного числа – СОВМЕСТНЫ)

Несовместные события- ели при испытании появление одного из событий исключает появление другого(№:выстрел-попадание и промах)

Полной группой событий называют неск событий,таких что в рез-те опыта непременно произойдет одно из них.(№:игральная кость: A-«1», B-«2», C-«3», D-«4», T-«5», F-«6»,)

Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.