Формула Бернулли и следствие из нее.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

 

Пусть производятся n независимых опытов,в кажд из кот событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность того,что в серии из n независ опытов событие А появится ровно m раз определиться по формуле.

P_n(m)=С_n^m×P^m(1-p)^n-m

Все из событий А появл ровно n раз

С-число сочетаний из n-опытов по m

С=n!:(m!(n-m)!)

m-число появлений события А

р-вероятность появл событий в одном опыте.

Пример:

1) По цели пороизв 5 независ выстрелов. Вероятность попад-я при кажд выстреле 0,8. Определить вероятность поражения цели 3 выстрелами.

n=5

h=0,8

P(3)=?

1. Сост расчет формулу:

Р₅(3)=С₅³×р³(1-р)²

С₅³=5!:(3!(5×3)!)=10

Р₅(3)=10×0,8³(1-0,8)²=0,2048(20%)

 

Следствие 1

Вероятность появл-я события хотя бы 1 раз в серии из n испытаний определяется по формуле:

P_n(m>=1)=1-(1-p)ⁿ

Р-вероятность попадания при 1 выстреле

1-р-вероятность промаха -//-

 

Следствие 2

Кол-во испытаний, опытов n необходимых д/появления события А хотя бы 1 раз с задан вероятностью опред по формуле:

(1-p)ⁿ =1-P_n(m>=1)

P_n(m>=1)-надежность

n×lg(1-p)=lg(1-P_n(m>=1))

n=(lg(1-P_n(m>=1)): lg(1-p)

Дискретные СВ и законы их распределения.

cB-величина, кот в рез-те опыта может принимать то или иное значение неизвестно заранее какое именно(№:выпадание чисел при брос игральн карты)

Примеры случайных величин:

1. Число выпавших очков при подбрасывании игральной кости (значения: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. Число попаданий в цель при n выстрелах (значения: 0, 1, 2,…, n).

3. Количество бракованных изделий в партии (значения: 0, 1, 2,…, n).

4. Ошибки при измерении физической величины.

Виды СВ:

1. Дискретные

2. Непрерывные

Дискретные-величина,кот в рез-те опыта может принимать только конечное или счетное число значений(№:выпад чисел при однократ бросании кости)

Примеры дискретных случайных величин:

- число попаданий при n выстрелах: Х={0,1,2…n};

- число очков при бросании игральной кости: Х={0,1,2,3,4,5,6}

Непрерывная-величина.кот может принимать любое знач-е в пределах некоторого промежутка(№:отклонение снаряда от цели при 1 выстреле)

Полной, исчерпывающей хар-кой CB явл закон распредел-я СВ

Закон распредел-я СВ-соотношение, устанавливающее связь м/д возможными значениями случ величины и отличающими их вероятностями.

Формы законов распределения СВ

Для дискретных СВ сущ формы:

Ряд распределения

Х	х1	Х2	…	хn
pi	p1	p2	…	pn

 

-возможные значения вероятностей

-событий

 

2. Многоугольник распределения-графическое изображение выражения ряда распределения.

3. Функция распределения-вероятность события сост в том, что случайная величина Х примет значение меньшее фиксируемого значения х.

*вероятность не м.б. >1

Свойства:

1. Возрастающая по своему физическому смыслу

2. F(-∞)=0

F(+∞)=1

3. F(x₁)= P(Х<x₁)=Р(-∞<X<х₁)

F(x₂)= P(Х<x₂)=Р(-∞<X<х₂)

Р(х₁<=X<x₂)= F(x₂)-F(x₁)

Законы распределения наиболее часто встречающихся на практике СВ.

Закон распределения дискретных СВ.

Биномиальный закон (Я.Бернулли)

Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0,1,2,n (конечно число значений) и отвечающие им вероятности рассчит по формуле:

Р_m=P(X=m)=C_n^mp^mq^n-m

P(X=m)-вероятность того,что СВ примет значение равное m

р-вероятность появления события А в одном опыте

q=(1-р)-вероятность не появл-я -//-

n-число проведенных опытов

*Р-не изм в каждом опыте. Все проводимые опыты должны провод в одинак условиях. №: на практике при контроле партии: выним из коробки,проверяют,записывают,кладут обратно в коробку. Затем берут др и тд. Если брак запис и возвр в контрол партию, тогда число подчин биномиальн закону.

Хар-ки закона:

M(x)=n*p-мат ожидание

Dx=h*p*q-дисперсия

σ_х=√ h*p*q-среднее квадратическое отклонение

Закон Пуассона

Распределение Пуассона-предельное распределение,к кот стремится биномиальное распределение. При увел числа n опытов и одновременном уменьшении вероятности появления события в одном опыте.

n→∞, p→0

закон Пуассона часто называют ЗАКОНОМ РЕДКИХ СОБЫТИЙ, т.к. вероятность столь мала.

СВ X имеет распределение Пуассона если ее возможные значения в серии из n испытаний: X 0,1,2,…m, … а соответствующие им вероятности: Р_m= P(X=m)=(a^m:m!)×e^-a

a-параметр закона Пуассона a=n*p

e-иррац число (2ой замечат предел) 2<e<3

n-число которое примет х

Хар-ки закона:

M(x)=a-мат ожидание

Dx=a-дисперсия

σ_ч=√ a-среднее квадратическое отклонение

на практике данный закон применяется при многократном контроле продукции прибором высокой надежности (многокр контроль m→∞, p→0, вероятность отказа стрм к 0)