Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

(Лабораторная работа №6)

Повышения точности численного интегрирования добиваются путем применения составных формул. Для этого при нахождении определенного интеграла отрезок разбивают на четное число отрезков длины и на каждом из отрезков длины применяют соответствующую формулу. Таким образом получают составные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

На сетке , , , составные формулы имеют следующий вид:

формула прямоугольников

;

формула трапеций

;

формула Симпсона

,

где - îñòàòî÷íûå ÷ëåíû. При приближенные значения интегралов для всех трех формул (в предположении отсутствия погрешностей округления) стремятся к точному значению интеграла [1,7,8].

Для практической оценки погрешности квадратурной можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом и , получают приближенные значения интеграла и и за окончательные значения интеграла принимают величины:

- для формулы прямоугольников;

- для формулы трапеций;

- для формулы Симпсона.

За погрешность приближенного значения интеграла для формул прямоугольников и трапеций тогда принимают величину , а для формулы Симпсона .

В лабораторной работе №6 требуется, используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, вычислить значения заданного интеграла и, применив правило Рунге, найти наименьшее значение (наибольшее значение шага ), при котором каждая из указанных формул дает приближенное значение интеграла с погрешностью , не превышающей заданную.

Порядок выполнения лабораторной работы №6.

1) Составить программы-функции для вычисления интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2) Составить программу-функцию для вычисления подынтегральной функции.

3) Составить головную программу, содержащую оценку по Рунге погрешности каждой из перечисленных выше квадратурных формул, удваивающих до тех пор, пока погрешность не станет меньше , и осуществляющих печать результатов: значения интеграла и значения для каждой формулы.

4) Провести вычисления по программе, добиваясь, чтобы результат удовлетворял требуемой точности.

5) Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего сравнительную оценку применяемых для вычисления формул.

Варианты заданий приведены в таблице 4.1 ( = 0.01; 0.001; 0.0001).

 

Формула Гаусса. (Лабораторная работа №7)

 

В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Для приближенного вычисления интеграла по конечному отрезку выполняется замена переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид [2,8,12]

Таблица 4.1

,

где ; - узлы квадратурной формулы Гаусса; - гауссовы коэффициенты .

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов.

В лабораторной работе №7 требуется, используя квадратурную формулу Гаусса наивысшего порядка точности, вычислить приближенное значение заданного интеграла.

Интеграл предлагается вычислить по квадратурной формуле Гаусса с восемью узлами:

, ;

, ;

, ;

, .

Порядок выполнения лабораторной работы №7.

1) Составить программу-функцию для вычисления интеграла по формуле Гаусса.

2) Составить программу-функцию для вычисления значений подынтегральной функции.

3) Составить головную программу, содержащую обращение к вычислительным процедурам и осуществляющую печать результатов.

4) Результаты работы оформить в виде краткого отчета, содержащего характеристику используемого метода вычислений, его точности и полученное значение интеграла.

Варианты заданий к лабораторной работе приведены в таблице 4.2.

 

Библиографический список

 

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Уч.пособие.- М.: Высш.шк., 1994. - 544 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.О., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1.- М.: Наука, 1966. - 632.

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970. - 664 с.

5. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972. - 367 с.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1989. - 608 с.

7. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математики: Учеб. Пособие для втузов. - 2-е изд. - М.: Высш.шк., 1994. - 416 с.

8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

9. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений/Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 279 с.

10. Хемминг Р. Численные методы/Пер. с англ. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

11. Сборник задач по структурному программированию: Учеб. пособие/С.А. Ивановский, Ю.Е. Прокофьев, А.В. Смольянинов / Под ред. В.И. Тимохина. - Л.: ЛЭТИ, 1987. - 64 с.

12. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. - М.: Высш.шк, 1979. - 184 с.

13. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

14. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB: Учеб. пособие/ Д.Л. Егоренков, А.Л. Фрадков, В.Ю. Харламов; Под ред. А.Л. Фрадкова. - С.-Пб.: БГТУ, 1994. - 192 с.

15. Компьютерная математика. Методич. указ. к лаборат. работам/Сост. И.А. Назаров. - С.-Пб.: ГЭТУ, 1993. - 32 с.

Таблица 4.2

 

Содержание

 

ÂÂÅÄÅÍÈÅ...................................................................................................................................................................................................

1. ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÌÀØÈÍÍÎÉ ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÈ, ÒÎ×ÍÎÑÒÜ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ ÍÀ ÝÂÌ............................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹1)................................................................................................................................................................

2. ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÏÎÍßÒÈß ÎÁÓÑËÎÂËÅÍÍÎÑÒÈ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È.................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹2)...............................................................................................................................................................

3. ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ............................................................................................................................................

3.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ..........................................................................................................................................................................

3.2. Ìåòîä áèñåêöèè...........................................................................................................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹3)..............................................................................................................................................................

3.3. Ìåòîä õîðä.......................................................................................................................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹4)..............................................................................................................................................................

3.4. Ìåòîä Íüþòîíà.................................................................................................................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹ 5).............................................................................................................................................................

3.5. Ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé.......................................................................................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹6)..............................................................................................................................................................

3.6. Êóðñîâàÿ ðàáîòà ïî äèñöèïëèíå è âàðèàíòû çàäàíèé.........................................................................................

3.7. Ïðîãðàììû äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.........................................................................................................

4. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ.......................................................................................................................................................

4.1. Ñîñòàâíûå ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, Ñèìïñîíà..................................................................................

(Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹6)..............................................................................................................................................................

4.2. Ôîðìóëà Ãàóññà. (Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà ¹7)...............................................................................................................

Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê........................................................................................................................................................