Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Наиболее широко для вычисления определенных интегралов используются приближенные равенства вида

.

(14)

Здесь x_j Î [ a, b ] –узлы квадратурной формулы; D_j – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; n – натуральное число. Величина

.

(15)

Называется погрешностью квадратурной формулы.

Будем говорить, что квадратурная формула (14) точна для многочленов степени m, если для любого многочлена степени не выше m эта формула дает точное значение интеграла, т.е.

.

(m – порядок точности квадратуры).

Многие квадратурные формулы основаны на замене подынтегральной функции на более простую функцию, близкую к f(x), легко интегрируемую точно. В качестве такой функции берут либо алгебраический многочлен, либо рациональную функцию, тригонометрический многочлен и т.д.

Рассмотрим квадратурные формулы, получаемые с помощью интегрирования интерполяционного многочлена и объединенных одним общим названием – формулы Ньютона-Котеса.

Рассмотрим вычисление интегралов вида , где f(x) – хорошо приближается многочленом, p(x) – некоторая фиксированная функция, называемая весовой функцией или весом и учитывающая особенности подынтегральной функции.

Для случая p(x) º 1 приведем ряд простейших квадратурных формул.

1. Формула прямоугольников.

.

(16)

Погрешность метода .

2. Формула трапеций.

.

(17)

Погрешность метода .

3. Формула Симпсона.

.

(18)

Погрешность метода .

Во многих случаях оценка погрешности квадратурных формул по приведенным оценкам затруднительна. Тогда обычно проводят двойной подсчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.

Можно указать практический способ подсчета ошибки квадратурной формулы. Пусть S_h и S_2h – приближенные значения интеграла I, полученные с шагами h и 2h. Тогда, примерно, I = S_h + Ch⁴ (считая, что y^(IV)(x) на отрезке меняется медленно, тогда погрешность R ~ Ch⁴). I = S_2h + C(2h)⁴ = S_2h + 16Ch⁴.

S_h - S_2h =15Ch⁴; Ch⁴ = (S_h - S_2h)/15. Тогда за приближенное значение интеграла целесообразно принять значение, определяемое выражением:

.

В случае квадратурных формул с равноотстоящими узлами их точность в основном характеризуется порядком остаточного члена R = o(h^m), где – шаг интегрирования.

Для формулы трапеций m = 2, Симпсона – m = 4. Квадратурная формула считается тем точнее, чем выше (для больших степеней при стремлении шага интегрирования к нулю погрешность стремится к нулю быстрее). Естественно, эта закономерность проявляется при достаточно большом числе M.

 

Квадратурная формула Гаусса

Если вычисляется интеграл , то с помощью линейной замены получим

(19)

где t_j и D_j находятся из таблицы.

 

 

n
	tj=0	Di= 2
	T1,2 =

 

Остаточный член формулы Гаусса (7) выражается формулой

Пример 11. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Решение. Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

.

Здесь , где .

Находим ; ;

 

.

Положим М₂ =7, тогда неравенство примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .

Вычисление интеграла производим по формуле

,

где

Все расчеты приведены в таблице.

i	xi
	0,7	0,49	1,28	1,1314	0,88386
	0,73	0,5329	1,3658	1,1686		0,85572
	0,76	0,5776	1,4552	1,2063		0,82898
	0,79	0,6241	1,5482	1,2443		0,80366
	0,82	0,6724	1,6448	1,2825		0,77973
	0,85	0,7225	1,7450	1,3210		0,75700
	0,88	0,7744	1,8488	1,3597		0,73546
	0,91	0,8281	1,9562	1,3986		0,71501
	0,94	0,8836	2,0672	1,4378		0,69551
	0,97	0,9409	2,1818	1,4771		0,67700
	1,00	1,0000	2,3000	1,5166		0,65967
	1,03	1,0609	2,4218	1,5562		0,64259
	1,06	1,1236	2,5472	1,5960		0,62657
	1,09	1,1881	2,6762	1,6356		0,61140
	1,12	1,2544	2,8088	1,6759		0,59669
	1,15	1,3225	2,9450	1,7161		0,58272
	1,18	1,3924	3,0848	1,7564		0,56935
	1,21	1,4641	3,2282	1,7967		0,55658
	1,24	1,5376	3,3752	1,8372		0,54431
	1,27	1,6129	3,5258	1,8777		0,53253
	1,30	1,6900	3,6800	1,9187	0,52129
					1,40515	12,77022

 

Таким образом,

.