Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка

(20)

Задача Коши: Найти решение уравнения (20) y = y (x), удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀.

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую , проходящую через заданную точку .

Существует несколько классов дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решение может быть найдено аналитически (уравнение с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). Даже для таких уравнений решение не всегда удается довести до вида , где – функция, с которой удобно работать дальше.

Многие же дифференциальные уравнения, к которым приводят математические модели реальных процессов, не относятся к указанным классам и аналитически решены быть не могут. Тем более это утверждение справедливо для систем дифференциальных уравнений и для уравнений старших порядков. По этой причине разработаны многочисленные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы предоставления решения, эти методы подразделяются на три основные группы:

–аналитические методы, применение которых дает приближенное решение дифференциальных уравнений в виде формулы;

–графические методы, делящие приближенное решение в виде графика;

–численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.

 

Метод Эйлера

Метод Эйлера – простейший представитель пошаговых методов. Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

. (21)

Отметим, что оценка погрешности метода при таком элементарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага, исходное значение само является приближенным, т.е. вообще говоря, погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки точности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов приближенного численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка – с шагом h и с шагом .

Совпадение соответствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирическое обоснование считать их верными.

Пример 12. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение с начальным условием на отрезке , приняв шаг .

Решение. Результаты вычислений с двумя знаками после запятой приведены в таблице.

		1,3	0,05
	0,2	1,35	0,16
	0,4	1,52	0,25
	0,6	1,77	0,32
	0,8	2,09	0,38
	1,0	2,47

Порядок вычислений вполне очевиден: вначале находим , затем и т.д. Если шаг уменьшить вдвое (т.е. ), то получим следующие значения

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	1,30 1,33 1,38 1,46 1,56 1,68 1,82 1,98 2,15 2,33 2,53

Сопоставление приближений, полученных с различным шагом, показывает, что при выбранном шаге метод Эйлера дает невысокую точность – в пределах одной-двух значащих цифр.