Численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ имени К.Г. РАЗУМОВСКОГО (Первый казачий университет)»

(ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»)

Башкирский институт технологий и управления (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г. Разумовского (Первый казачий университет)»БИТУ (филиал) ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»

 

Вычислительная математика

Учебное пособие для бакалавров

Заочной формы обучения.

 

Предисловие

 

Вычислительная математика является одной из важнейших дисциплин профессиональной подготовки будущего инженера. Она развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования реальных явлений в различных предметных сферах.

Пособие включает краткие сведения по следующим разделам: основные понятия, связанные с приближенными значениями величин, методы оценки вычислительных ошибок; интерполирование функций; задачи численного интегрирования; методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

В каждом разделе приведены примеры выполнения индивидуальных заданий в «ручных» вычислениях. Задания могут выполняться и с помощью имеющихся в распоряжении студентов программно-технических средств – с помощью программ на каком-либо языке программирования или применения математических пакетов, которые в настоящее время широко используются в практических вычислениях: Exel, MatLab, MathCad, Maple и др.

Рабочая программа

Теория погрешностей

Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ: представление чисел в форме с фиксированной и плавающей запятой, диапазон и погрешности представления, операции над числами, свойства арифметических операций. Абсолютная и относительная погрешности. Основные источники погрешности. Погрешность суммы, разности, произведения, частного. Погрешность функции. Обратная задача теории погрешностей.

Численные методы алгебры

Действия с матрицами. вычисление определителей. обращение матриц. точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов. итерационные методы: метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации.

Численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Постановка задачи. Отделение корней. Графическое решение уравнений. Метод дихотомии, метод хорд, метод Ньютона, метод простой итерации.

Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений.

Интерполяция и численное дифференцирование

Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешностей интерполяционных формул. Обратное интерполирование. Интерполяция сплайнами. Метод наименьших квадратов. Экстраполяция.

Постановка задачи численного дифференцирования. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах.

Численное интегрирование

Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений частных производных.

Теория погрешностей

 

Интерполирование функций

 

Квадратурная формула Гаусса

Если вычисляется интеграл , то с помощью линейной замены получим

(19)

где t_j и D_j находятся из таблицы.

 

 

n
	tj=0	Di= 2
	T1,2 =

 

Остаточный член формулы Гаусса (7) выражается формулой

Пример 11. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Решение. Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

.

Здесь , где .

Находим ; ;

 

.

Положим М₂ =7, тогда неравенство примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .

Вычисление интеграла производим по формуле

,

где

Все расчеты приведены в таблице.

i	xi
	0,7	0,49	1,28	1,1314	0,88386
	0,73	0,5329	1,3658	1,1686		0,85572
	0,76	0,5776	1,4552	1,2063		0,82898
	0,79	0,6241	1,5482	1,2443		0,80366
	0,82	0,6724	1,6448	1,2825		0,77973
	0,85	0,7225	1,7450	1,3210		0,75700
	0,88	0,7744	1,8488	1,3597		0,73546
	0,91	0,8281	1,9562	1,3986		0,71501
	0,94	0,8836	2,0672	1,4378		0,69551
	0,97	0,9409	2,1818	1,4771		0,67700
	1,00	1,0000	2,3000	1,5166		0,65967
	1,03	1,0609	2,4218	1,5562		0,64259
	1,06	1,1236	2,5472	1,5960		0,62657
	1,09	1,1881	2,6762	1,6356		0,61140
	1,12	1,2544	2,8088	1,6759		0,59669
	1,15	1,3225	2,9450	1,7161		0,58272
	1,18	1,3924	3,0848	1,7564		0,56935
	1,21	1,4641	3,2282	1,7967		0,55658
	1,24	1,5376	3,3752	1,8372		0,54431
	1,27	1,6129	3,5258	1,8777		0,53253
	1,30	1,6900	3,6800	1,9187	0,52129
					1,40515	12,77022

 

Таким образом,

.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ имени К.Г. РАЗУМОВСКОГО (Первый казачий университет)»

(ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»)

Башкирский институт технологий и управления (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г. Разумовского (Первый казачий университет)»БИТУ (филиал) ФГБОУ ВО «МГУТУ им. К.Г. Разумовского (ПКУ)»

 

Вычислительная математика

Учебное пособие для бакалавров

Заочной формы обучения.

 

Предисловие

 

Вычислительная математика является одной из важнейших дисциплин профессиональной подготовки будущего инженера. Она развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования реальных явлений в различных предметных сферах.

Пособие включает краткие сведения по следующим разделам: основные понятия, связанные с приближенными значениями величин, методы оценки вычислительных ошибок; интерполирование функций; задачи численного интегрирования; методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

В каждом разделе приведены примеры выполнения индивидуальных заданий в «ручных» вычислениях. Задания могут выполняться и с помощью имеющихся в распоряжении студентов программно-технических средств – с помощью программ на каком-либо языке программирования или применения математических пакетов, которые в настоящее время широко используются в практических вычислениях: Exel, MatLab, MathCad, Maple и др.

Рабочая программа

Теория погрешностей

Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ: представление чисел в форме с фиксированной и плавающей запятой, диапазон и погрешности представления, операции над числами, свойства арифметических операций. Абсолютная и относительная погрешности. Основные источники погрешности. Погрешность суммы, разности, произведения, частного. Погрешность функции. Обратная задача теории погрешностей.

Численные методы алгебры

Действия с матрицами. вычисление определителей. обращение матриц. точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов. итерационные методы: метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации.

Численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений

Постановка задачи. Отделение корней. Графическое решение уравнений. Метод дихотомии, метод хорд, метод Ньютона, метод простой итерации.

Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений.