Десятичная запись и округление приближенных чисел

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющие собой конечные десятичные дроби. Любое десятичное число представимо в виде

b = bm10^m + bm-110^m-1 +…+ b110^1 + b010^0 + b-110^-1 +…+ b-k10^-k (bm ¹ 0)

(4)

Значащими цифрами числа b называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева (b_m). В числе (4) n = m + k + 1 значащих цифр.

Пример 2. a = 0,0 3045 –4 значащих цифры; a = 0,0 3045000 –7 значащих цифр.

Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 3. a = 0,0 3045 – D_a = 0,000005; a = 0,0 30450 00 – D_a = 0,0000005.

Если все значащие цифры верны, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.

Подчеркнем, что числа, помещенные в математических таблицах, имеют все верные цифры.

Сомнительными называют все цифры приближенного числа, расположенные правее последней верной цифры.

Заметим, что обычно пишут знак равенства между точными и приближенными числами, если все цифры приближенного числа верные.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр.

При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х – данное число, а х ₁ – результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

(5)

Погрешность округления следует прибавить к первоначальной абсолютной погрешности приближенного числа.

Для того, чтобы погрешность округления была минимальной, пользуются следующими правилами:

1. если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется;

2. если первая отбрасываемая цифра равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;

3. если отбрасывается одна цифра 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Пример 4. Приближенное число а =16,8314 с абсолютной погрешностью округлить до его верных цифр и найти абсолютную погрешность округленного числа.

Решение. Так как , то цифра сотых (3) – верная, а следовательно, верны и предшествующие цифры 1, 6 и 8. Таким образом, округленное число имеет все верные цифры.

Абсолютная погрешность округленного числа равна сумме первоначальной погрешности 0,0032 и погрешности округления (0,0014):

0,0032+0,0014=0,0046.

Выполнив округление погрешности в сторону увеличения, получим новую погрешность, равную 0,005.

Пример 5. Определить, какое равенство точнее: 9/11=0,818 или .

Решение. Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: . Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

Предельные относительные погрешности составляют:

Так как , то равенство 9/11=0,818 является более точным.