Постановка задачи интерполирования

 

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [ a, b ] заданы n + 1 точки x₀, x₁, …, x_n, которые называются узлами интерполяции, в которых некоторая функция f(x) принимает значения

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn = f(xn).

(8)

Требуется построить функцию F(x) (интерполяционную функцию) принадлежащую известному классу функций и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

y0 = F(x0), y1 = F(x1), …, yn = F(xn).

(9)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i, y_i), i = 0, 1, 2, …, n.

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать полином P_n(x) – степени не выше n, удовлетворяющий условиям (9), т.е. такой, что

P_n(x₀) = y₀, P_n(x₁) = y₁, …, P_n(x_n) = y_n.

Полученную интерполяционную формулу y = F(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x Î [ x₀, x_n ], т.е. значение x является промежуточным между x₀ и x_n и экстраполирование, когда x Ï [ x₀, x_n ].

 

 

Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [ a, b ] задан n + 1 узел интерполяции x₀, x₁, …, x_n в которых заданы значения функции y_i = f(x_i), i = 0, 1, …, n. Требуется построить полином L_n(x) степени не выше n, принимающий в данных узлах те же значения, что и указанная функция.

Интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

(10)

Пример 9. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей значений:

х
у

Решение. Из таблицы следует, что n =2 (т.е. степень многочлена будет не выше 2); здесь х ₀=1, х ₁=3, х ₂=4.

Если обозначить произведение

,

,

по формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид

. (11)

В случае равноотстоящих узлов интерполяционная формула Лагранжа принимает вид

, (12)

где .

Для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно использовать соотношение

,

где зависит от и .

Рассмотрим частные случаи формулы Лагранжа.

При n = 1 имеем две точки и формула Лагранжа – уравнение прямой проходящей через эти точки.

.

При n = 2 – уравнение параболы проходящей через три точки.

Пример 10. Найти приближенное значения функции у(х) при х =0,1157 с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.

х	у
0,101 0,106 0,111 0,116 0,121 0,126	1,26183 1,27644 1,29122 1,30617 1,32130 1,33660

Решение. Для вычислений используем формулу

,

где .

Здесь t =(0,1157-0,101)/0,005=2,94. Вычисления располагаем в таблице.

i	xi	yi		Ci	Ci
	0,101 0,106 0,111 0,116 0,121 0,126	1,26183 1,27644 1,29122 1,30617 1,32130 1,33660	2,94 1,94 0,94 -0,06 -1,06 -2,06	-120 -12 -24	-352,8 46,56 -11,28 -0,72 25,44 -247,2	-0,0035766 0,0274149 -0,1144691 -1,8141250 0,0519379 -0,0054069

 

Итак,

Следовательно, .