Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Выполнимость и общезначимость формул
Определение 1. Формула Bлогики предикатов называется выполнимой в области M, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и принадлежащих множеству M, при которых формула Bпринимает истинные значения. Это определение очень похоже на то определение, которое мы дали для квантора существования в подразд. 3.1 относительно одного предиката. Данное определение отличается тем, что оно применяется не к отдельному предикату, а к формуле, состоящей из нескольких предикатов. Определение 2. Формула Bназывается выполнимой, если существует область, на которой эта формула выполнима. Это определение не следует понимать так, что если формула выполнима, то она выполнима в любой области. Для выполнимости формулы достаточно существования любой области, на которой она выполнима. Определение 3. Формула Bназывается тождественно истинной в области M, если она принимает истинные значениядля всех значений переменных, входящих в эту формулу и принадлежащих множеству M. Это определение по форме похоже на определение 2 подразд. 3.1., но отличается от него тем, что то определение давалось для предиката, а данное – для формулы, т.е. для предложения, состоящего из нескольких предикатов. Определение 4. Формула Bназывается общезначимой, если она тождественно истинная на всякой области. Ранее в подразд. 2.9., мы вскользь упомянули о понятии общезначимость и отметили, что его используют иногда для обозначения тождественно истинных формул алгебры логики и обозначают символом ╞. Таким образом, мы видим, что преемственность и аналогия полностью сохраняются. И в алгебре логики, и в логике предикатов термин общезначимость употребляется для обозначения одинаковых по смыслу понятий – тождественно истинных формул. Только в логике предикатов понятие тождественно истинной формулы более широкое, чем в алгебре логики. Определение 5. Формула называется тождественно ложной в области M, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и принадлежащих множеству M. Как нетрудно видеть, это определение с точностью до обозначений совпадает с определением тождественно ложного предиката (определение 2, подразд. 3.1) и тождественно ложной формулы алгебры логики (определение 2, подразд. 1.3).
Из приведенных определений вытекают следующие свойства формул логики предикатов. 1. Если формула Bобщезначимая, то она и выполнима на всякой области. 2. Если формула B тождественно истинная в области M, то она и выполнима в этой области. 3. Если формула B тождественно ложная в области M, то она и не выполнима в этой области. 4. Если формула B не выполнима, то она тождественно ложна на всякой области. На основании приведенных определений выделяют два класса формул логики предикатов: выполнимых и не выполнимых формул. Рассмотрим примеры выполнимых, невыполнимых и общезначимых формул. Пусть формула задана в виде: , где предикат означает и определен на области , где (символ означает, что рассматриваемая переменная x принимает значения от a до b, то же самое и для ). Ясно, что в этом случае формула тождественно истинная в области M, а поэтому и выполнима в этой области. Если же предикат рассматривать в другой области, например , где , то формула является тождественно ложной. Поскольку рассматриваемая формула не является тождественно истинной на всякой области, то она и не общезначима. Рассмотрим другой пример. Пусть заданы предикаты: P(x)– “число кратно 7”, Q (у) – “число кратно 3” и , определенные в области , где . На какой области формула выполнима, невыполнима и является ли она общезначимой? Дадим ответы на эти вопросы. Так как для предиката P(x) , а для предиката Q(x) , то для предиката . А это означает, что существуют такие и , что среди натуральных чисел N всегда найдется такое число, при котором будет истинна формула . Это число . Например, для чисел и существует число (это же число принадлежит и каждому в отдельности множеству и ). Следовательно, рассматриваемая формула является истинной на множестве , т.е. она выполнима в этой области (на этом множестве), а следовательно, и в области M. Кроме того, какие бы числа y и y мы ни взяли соответственно из и для них всегда найдется такое число из , что будет истинна формула , т.е. эта формула тождественно истинная в этой области. Если же предикат мы будем рассматривать в области , где , то формула является тождественно ложной. Действительно, среди пар чисел множества не найдется ни одной такой пары чисел, для которой были бы истинны предикаты . Следовательно, на множестве формула является тождественно ложной, а значит, и невыполнимой. И, наконец, эта формула не общезначима, так как. не является тождественно истинной на всякой области.
Интерес представляют общезначимые формулы, так как они являются логическими законами. Такой простейшей формулой является формула . Причем, независимо от конкретного смыслового содержания предиката , эта формула является тождественно истинной в любой области M. Действительно, . Если квантор всеобщности применить к конъюнкции любого предиката и его отрицанию , т.е. , то получим тождественно ложную формулу в любой области . Действительно, В то же время значит, формула является логическим законом. Рассмотрим еще один пример, показывающий, как с помощью равносильных преобразований устанавливается общезначимость формул логики предикатов: . Таким образом, мы получили заданную формулу, которая является тождественно истинной для любых двух одноместных предикатов и в любой области (поскольку область заранее не оговаривалась). Значит, формула общезначима. Упражнения 1. Являются ли тождественно истинными следующие формулы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 2. Привести к предваренной нормальной форме следующие формулы логики предикатов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 3. Какие из приведенных ниже формул являются общезначимыми: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 1747; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.184.162 (0.016 с.) |