Уметь доказывать или выводить формулу

Семестр

Рейтинг

1. Работа на занятиях – 30 баллов

2. Конспект лекций и практических занятий - 15 баллов

3. Активность на занятиях – 9 баллов

4. Контрольная работа №1 – 15 баллов

5. Контрольная работа №2 – 15 баллов

6. Курсовая работа - 16 баллов

Определения, свойства, формулы, примеры

1. Вектор. Нулевой вектор.
2. Коллинеарные и компланарные векторы.
3. Сложение векто­ров. Свойства.
4. Умножение вектора на число. Свойства.
5. Базис векторного пространства.
6. Линейно зависимые линейно независимые векторы. Свойства.
7. Координаты вектора относительно данного базиса.
8. Определение скалярного произведения векторов и его свойства.
9. Ортогональные векторы.
10. Скалярное произведение в координатах.
11. Нахождение длины вектора.
12. Нахождение угла между векторами.
13. Определение аффинной системы координат на плоскости.
14. Определение прямоугольной системы координат на плоскости.
15. Определение координат точки на плоскости.
16. Деление отрезка в данном отношении. Формулы. Примеры.
17. Полярная система координат.
18. Формулы, связывающие полярные координаты с декартовыми.
19. Преобразование аффинных координат на плоскости. Формулы.
20. Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Формулы.
21. Определение аффинной системы координат в пространстве.
22. Определение прямоугольной системы координат в пространстве.
23. Определение координат точки в пространстве.
24. Сферические и цилиндрические координаты точки.
25. Формулы, связывающие сферические и цилиндрические координаты с декартовыми.
26. Векторное произведение. Свойства.
27. Смешанное произведение. Свойства.
28. Векторное произведение в координатах
29. Смешанное произведение в координатах.
30. Длина векторного произведения.
31. Площадь треугольника, параллелограмма.
32. Высота геометрических фигур.
33. Объем параллелепипеда, призмы, пирамиды.
34. Высота геометрического тела.
35. Общее уравнение прямой.
36. Каноническое уравнение прямой.
37. Уравнение прямой, проходящей через три.
38. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
39. Формула для вычисления рас­стояния от точки до прямой.
40. Определение угла между двумя прямыми. Формула.
41. Определение нормального вектора прямой.
42. Определение направляющего вектора прямой.
43. Определение и геометрический смысл углового коэффициента прямой.
44. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
45. Параллельные прямые на плоскости.
46. Перпендикулярные прямые на плоскости.
47. Переход от одного типа уравнения прямой на плоскости к другому.
48. Уравнение плоскости в виде определителя.
49. Общее уравнение плоскости.
50. Понятие нормального вектора плоскости.
51. Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости.
52. Взаимное расположение двух плоскостей.
53. Переход от одного типа уравнения плоскости к другому.
54. Канонические уравнения прямой.
55. Уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.
56. Понятие направляющего вектора прямой. Нахождение направляющего вектора.
57. Переход от одного типа уравнения прямой в пространстве к другому.
58. Угол между двумя плоскостями, прямой и плоскостью, двумя прямыми. Формулы.
59. Взаимное расположение двух плоскостей.
60. Параллельные плоскости.
61. Перпендикулярные плоскости.
62. Взаимное расположение прямой и плоскости.
63. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
64. Расстояние между прямыми в пространстве.

 

Задачи

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.: СпецЛитература, 1998.

№ 26 – 43, 63 – 85, 86 -107, 129 -141, 157 – 173, 174 -194, 210 -284, 285 – 308, 313 – 340, 726 -741, 748 -884, 913 -955, 961 -972, 1007 – 1083.

Уметь доказывать или выводить формулу

1. Умножение вектора на число и его свойства.

2. Линейная зависимость и независимость векторов.

3. Координаты вектора относительно данного базиса. Операции над векторами, задан­ными своими координатами.

4. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.

5. Преобразование аффинной системы координат.

6. Преобразование прямоугольной системы координат.

7. Векторное произведение и его свойства.

8. Вычисление векторного произведения. Площадь параллелограмма.

9. Смешанное произве­дение и его свойства.

10. Вычисление смешанного произведения. Объем параллелепипеда.

11. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.

12. Расстояние от точки до плоскости.

13. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

14. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

15. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

 

Примерная тематика курсовых работ по предмету «Аналитическая геометрия»

Тема 1. Векторный метод решения планиметрических задач

Примерное содержание: История введения вектора в математику. Различные трактовки вектора в школьных учебниках. Сущность векторного метода. Планиметрические задачи по геометрии, алгебре, физике, тригонометрии, решаемые векторным методом. Планиметрические теоремы, которые можно доказать векторным методом.

Tема 2. Векторный метод в стереометрии

Примерное содержание: Сущность векторного метода решения задач и доказательства теорем. Стереометрические задачи и теоремы, которые можно решить и доказать векторным методом (Подобрать аффинные и метрические задачи).

Тема 3. Координатный метод на плоскости в математике

Примерное содержание: Исторические сведения. Сущность координатного метода. Различные системы координат в математике, астрономии, в жизни. Задачи по геометрии, алгебре, физике, астрономии, решаемые координатным методом. Подобрать 2-3 задачи, которые можно решить различными методами (координатным, векторным, синтетическим).

Тема 4. Линии второго порядка и другие замечательные кривые в математике, природе, технике

Примерное содержание: Исторические сведения о линиях второго порядка. Канонические уравнения. Замечательные свойства. Задачи практического содержания на применение этих линий. Лемниската, циклоида, кардиоида и др. замечательные кривые.

Тема 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ.

Примерное содержание Геометрические преобразования плоскости и их применение к построению графиков функций и уравнений.

Тема 6. Геометрические преобразования плоскости и их приложение к решению задач.

Примерное содержание: Движения, подобия, аффинные преобразования плоскости (конструктивное и аналитическое задание). Задачи на все виды преобразований (конструктивные и аналитические). (Подобрать задачи на доказательство, построения).

Тема 7. Симметрия в геометрии и природе

Примерное содержание: Виды геометрий на плоскости и в пространстве и их свойства. Конструктивное и аналитическое задание симметрий. Группы симметрий геометрических фигур. Задачи. Симметрия в искусстве,природе, архитектуре. \

Тема 8.Оптические свойства линий второго порядка.

Примерное содержание: Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линий 2-го порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка. Уравнения касательных. Оптические свойства и их исследование в оптике, технике, астрономии.

Тема 9. Линии второго порядка, как траектория движения планет

Примерное содержание: Некоторые сведения из истории математики о линиях второго порядка. Сущность закона Кеплера для движения небесных тел. Вывод уравнения траекторий движения планет.

Тема 10. Треугольники. Метрические соотношения в треугольнике.

Примерное содержание. Определение треугольника. Основные метрические соотношения.

Тема 11. Внутренние, внешние и граничные точки фигуры.

Примерное содержание. Определение. Свойства. Примеры.

Тема 12. Задачи на построение циркулем и линейкой.

Примерное содержание. Аксиомы циркуля и линейки. Простейшие построения. Этапы решения задачи. Примеры решения задач.

Тема 13. Алгебраический метод решения задач на построения циркулем и линейкой. Три знаменитые задачи древности.

Примерное содержание. Суть метода. Примеры. Невозможность решения задач о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба с помощью циркуля и линейки.

Тема 14. Выпуклые фигуры.

Примерное содержание. Определение, свойства, примеры.

Тема 15. Многогранные углы и сферические многоугольники.

Примерное содержание. Определение, свойства. Примеры решения задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М:, 1990

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М:, Просвещение, 1986

4. Бахман Ф.М. Построение геометрии на основе понятия симметрии.М:, 1969

5. Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-П:, 1997

6. Гвоздева Н.П., Коркин К.И. Теория оптических систем и оптических измерений. М:, Машиностроение, 1981

7. Егоров Е.И. и др. Физика в примерах и задачах. М:, 1989

8. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. М-Л.: 1952

9. Понтрягин Л.С. Метод координат. М.: 1977

10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. М.: 1979

11. Репникова Г.Г. Геометрические преобразования пространства. Ставрополь, 1992

12. Рябов Ю.А. Движение небесных тел. М.: Наука, 1988

13. Хлопонина Э.П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств. Ставрополь, 1998

14. Энциклопедический словарь юного математика. М.: 1989

15. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках М.: Наука, 1982

16. Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. – М.: Мир, 1977

17. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М.: 1995

18. Аргунов Б.И. Преобразование плоскости. - М.: Просвещение, 1976

19. Егерев В.К. и др. Методика построения графиков функций. -М.: 1967

20. Ершов П.В., Рейхмист Р.Б. Построение графиков функций. - М.: 1984

21. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир, 1979

ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА (НАПРАВЛЕНИЕ – МАТЕМАТИКА И МКН)

 

1. Координаты на плоскости.

Решить задачи: глава 1, параграф 1,2.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Решить задачи: глава 1, параграф 3.

3. Уравнение линии.

Решить задачи: глава 1, параграф 4.

4. Параметрические уравнения линии.

Решить задачи: глава 1, параграф 5.

5. Точки пересечения кривых.

Решить задачи: глава 1, параграф 6.

6. Общее уравнение прямой на плоскости.

Решить задачи: глава 2, параграф 1,2.

7. Угловой коэффициент прямой. Угол между прямыми.

Решить задачи: глава 2, параграф 3,4.

8. Основные задачи на прямую на плоскости.

Решить задачи: глава 2, параграф 5,6.

9. Преобразование координат на плоскости.

Решить задачи: глава 2, параграф 7.

10. Скалярное произведение векторов.

Решить задачи: глава 4, параграф 3.

1. Векторное произведение векторов.

Решить задачи: глава 4, параграф 4.

1. Смешанное произведение векторов.

Решить задачи: глава 4, параграф 5.

1. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов в координатах.

Решить задачи: глава 4, параграф 6.

1. Координаты в пространстве.

Решить задачи: глава 5, параграф 1,2.

1. Уравнение поверхности и кривой в пространстве.

Решить задачи: глава 5, параграф 3.

1. Преобразование координат в пространстве.

Решить задачи: глава 5, параграф 4.

1. Уравнение плоскости.

Решить задачи: глава 6, параграф 1.

1. Уравнение плоскости в нормальной форме.

Решить задачи: глава 6, параграф 2,3.

1. Взаимное расположение плоскостей.

Решить задачи: глава 6, параграф 4.

1. Уравнение прямой в пространстве.

Решить задачи: глава 6, параграф 5.

1. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.

Решить задачи: глава 6, параграф 6.

1. Основные задачи на прямую и плоскость.

Решить задачи: глава 6, параграф 7.

 

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968.

 

Семестр

Рейтинг

1. Работа на занятиях – 40 баллов

2. Конспект лекций и практических занятий - 21 балл

3. Активность на занятиях – 9 баллов

4. Контрольная работа №1 – 15 баллов

5. Контрольная работа №2 – 15 баллов

Определения, свойства, формулы, примеры, уметь доказывать или выводить формулы

1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства эллипса.

2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы.

3. Каноническое уравнение параболы. Свойства параболы.

4. Директриальное свойство линий второго порядка.

5. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

6. Центр линии второго порядка.

7. Касательная к линии второго порядка.

8. Диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.

9. Главные направления. Главные диаметры.

10. Классификация линий второго порядка.

11. Отображение и преобразование множеств. Группа преобразований множества и ее под­группы.

12. Движения плоскости. Классификация движений плоскости.

13. Группа движений плоскости и ее подгруппы.

14. Преобразования подобия. Группа подобия и ее подгруппы.

15. Аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.

16. Поверхности вращения.

17. Цилиндрические и конические поверхности.

18. Эллипсоид и его свойства.

19. Гиперболоиды и их свойства.

20. Параболоиды и их свойства.

21. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

22. Классификация поверхностей второго порядка.

23. Пополненная плоскость и связка.

24. Однородные координаты.

25. Линии второго порядка в однородных координатах.

26. Проективные системы координат.

27. Группа проективных преобразований.

 

Задачи

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.: СпецЛитература, 1998.

№ 385 – 442, 444 – 466, 484 – 504, 515 – 542, 549 – 572, 583 – 625, 632 – 639, 643 – 664, 672, 676, 677, 689, 1084 – 1120, 1153 -1167, 1172 – 1173, 1180 – 1186.

Франгулов С.А., Совертков П.И., Фадеева А.А., Ходот Т.Г. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 2002.

№ 11.1 – 11.84

 

Семестр

Рейтинг

1. Работа на занятиях – 30 баллов

2. Конспект лекций и практических занятий - 15 баллов

3. Активность на занятиях – 9 баллов

4. Контрольная работа №1 – 15 баллов

5. Контрольная работа №2 – 15 баллов

6. Курсовая работа - 16 баллов

Определения, свойства, формулы, примеры

1. Вектор. Нулевой вектор.
2. Коллинеарные и компланарные векторы.
3. Сложение векто­ров. Свойства.
4. Умножение вектора на число. Свойства.
5. Базис векторного пространства.
6. Линейно зависимые линейно независимые векторы. Свойства.
7. Координаты вектора относительно данного базиса.
8. Определение скалярного произведения векторов и его свойства.
9. Ортогональные векторы.
10. Скалярное произведение в координатах.
11. Нахождение длины вектора.
12. Нахождение угла между векторами.
13. Определение аффинной системы координат на плоскости.
14. Определение прямоугольной системы координат на плоскости.
15. Определение координат точки на плоскости.
16. Деление отрезка в данном отношении. Формулы. Примеры.
17. Полярная система координат.
18. Формулы, связывающие полярные координаты с декартовыми.
19. Преобразование аффинных координат на плоскости. Формулы.
20. Преобразование прямоугольных координат на плоскости. Формулы.
21. Определение аффинной системы координат в пространстве.
22. Определение прямоугольной системы координат в пространстве.
23. Определение координат точки в пространстве.
24. Сферические и цилиндрические координаты точки.
25. Формулы, связывающие сферические и цилиндрические координаты с декартовыми.
26. Векторное произведение. Свойства.
27. Смешанное произведение. Свойства.
28. Векторное произведение в координатах
29. Смешанное произведение в координатах.
30. Длина векторного произведения.
31. Площадь треугольника, параллелограмма.
32. Высота геометрических фигур.
33. Объем параллелепипеда, призмы, пирамиды.
34. Высота геометрического тела.
35. Общее уравнение прямой.
36. Каноническое уравнение прямой.
37. Уравнение прямой, проходящей через три.
38. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
39. Формула для вычисления рас­стояния от точки до прямой.
40. Определение угла между двумя прямыми. Формула.
41. Определение нормального вектора прямой.
42. Определение направляющего вектора прямой.
43. Определение и геометрический смысл углового коэффициента прямой.
44. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
45. Параллельные прямые на плоскости.
46. Перпендикулярные прямые на плоскости.
47. Переход от одного типа уравнения прямой на плоскости к другому.
48. Уравнение плоскости в виде определителя.
49. Общее уравнение плоскости.
50. Понятие нормального вектора плоскости.
51. Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости.
52. Взаимное расположение двух плоскостей.
53. Переход от одного типа уравнения плоскости к другому.
54. Канонические уравнения прямой.
55. Уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.
56. Понятие направляющего вектора прямой. Нахождение направляющего вектора.
57. Переход от одного типа уравнения прямой в пространстве к другому.
58. Угол между двумя плоскостями, прямой и плоскостью, двумя прямыми. Формулы.
59. Взаимное расположение двух плоскостей.
60. Параллельные плоскости.
61. Перпендикулярные плоскости.
62. Взаимное расположение прямой и плоскости.
63. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
64. Расстояние между прямыми в пространстве.

 

Задачи

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – СПб.: СпецЛитература, 1998.

№ 26 – 43, 63 – 85, 86 -107, 129 -141, 157 – 173, 174 -194, 210 -284, 285 – 308, 313 – 340, 726 -741, 748 -884, 913 -955, 961 -972, 1007 – 1083.

Уметь доказывать или выводить формулу

1. Умножение вектора на число и его свойства.

2. Линейная зависимость и независимость векторов.

3. Координаты вектора относительно данного базиса. Операции над векторами, задан­ными своими координатами.

4. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.

5. Преобразование аффинной системы координат.

6. Преобразование прямоугольной системы координат.

7. Векторное произведение и его свойства.

8. Вычисление векторного произведения. Площадь параллелограмма.

9. Смешанное произве­дение и его свойства.

10. Вычисление смешанного произведения. Объем параллелепипеда.

11. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.

12. Расстояние от точки до плоскости.

13. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

14. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

15. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

 

Примерная тематика курсовых работ по предмету «Аналитическая геометрия»

Тема 1. Векторный метод решения планиметрических задач

Примерное содержание: История введения вектора в математику. Различные трактовки вектора в школьных учебниках. Сущность векторного метода. Планиметрические задачи по геометрии, алгебре, физике, тригонометрии, решаемые векторным методом. Планиметрические теоремы, которые можно доказать векторным методом.