![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
*Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте. СПОСОБЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Классический Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле: Р(А)=m:n m-общее число возможных случаев(общ число случаев) n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев) благоприятствующий случай- если его появление влечет за собой событие пример: 1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара А-событие вынуть белый шар. Р(А)=m:n=3:7-0,43(43%) m=3,n=3+4
2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости А-событие выпад-я четн числа очков Р(А)=m:n=3:6=0,5(50%) m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости) n=6(всего цифр)
Геометрический Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны. Р(А)=Wm:Wn Wm-размер всей площади Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А. Примечание: Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t) пример: 1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не <,чем l А-событие,что произошло в т.С→Р(А) Р(А)= Wm:Wn=(L-l):L
Статистический Частотой появл-я события А назыв отношение числа его появл-й к числу произвед опытов F(A)=m:n P(A)=lim f(A) (внизу под lim n→∞)=lim m:n(внизу под lim n→∞)
Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте. Комбинаторика -спец раздел мат-ки интересующийся? «Сколько различн комбинаций можно сост из задан объектов. Рассм 3 типа комбинаторики: Перестановка Перестановками из n элементов назыв всевозм комбинации из этих элементов,отлич друг от друга порядком располож-я элементов. Рn=1×2×3…×n=n!(эн-факториал) Пример: 1) 1,2,3 123; 321; 231; 213; 132; 312 Р3=3!=1×2×3=6 Ответ:6 2) В ауд 5 столов. Сколькими способами м рассад 5 чел.
Р5=5!=120. Ответ: 120 Размещение Размещениями из n элементов по m элементов называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и различающиеся между собой элементами или их расположением. Аnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) Аnm=Pn:Pm-n Пример: 1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ. n=10 (0,1,2..9), m=4 A104=10!:(10-4+1!)=10×9×8×7=5040 Ответ: 5040 3. Сочетания Сочетаниями из n элементов по m элементов (m < n) называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Сnm= Аnm: Pm=n!:(m!×(n-m)!) n!-кол-во чисел m!×(n-m)!-кол-во групп пример: 1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета? m=2 C32-число возм-тей вытянуть 2 белых шара C32=3!:(2!1!)=3 C72-число возм-тей вытянуть 2 черных шара C72=21 С=C32+C72=21+3=24. Ответ: 24 Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее. *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте. Теорема сложения. Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В Пример: 1) А-событие вынуть из колоды красную карту В-событие вынуть туза (рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек) С=А+В Теорема 1. Сложение вероятностей 2х несовместных событий Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.: РS(сверху n,снизу i=1)Аi=S(сверху n,снизу i=1) Р(Аi) Пример: 1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон Вероятность попадания в первую зону-0,1 Во вторую-0,3 В третью – 0,4 Определ вероятность попадания в мешень. 1. Обозначение событий и их вероятностей. А1-событие попадания в первую зону А2-во вторую А3-в третью А-событие попадания в мешень 2. Составим расчетную формулу: А=А1+А2+А3 А1,А2,А3-несовместные события
Р(А)= Р(А1)+Р(А2)+Р(А3) 3. Расчет: Р(А)=0,1+0,3+0,4=0,8(80%)
Противоположные события -если они несовместные и образуют полную группу. А(с – сверху)- противоположное событие
Следствие 1 из теоремы 1: Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1 Док-во: Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события) * Событие назыв достоверным,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2) События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1: Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях: p+q=1, где р - вероятность того, что событие А произошло; q - вероятность того, что событие А не произошло. Следствие 2 из теоремы 1: Если событие А1,А2, … Аn образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей: Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1 S(сверху n,снизу- i=1) Р(Аi)=1 * сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице Пример: 1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи: Р(А с -)=1-Р(А)=1-0,8=0,2(20%) Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.
Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее. *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте. Теорема умножения вероятностей. О. событие А независимое от В, если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В. Условная вероятность- Р(А/В)- вероятность события А выше при условии что событие В произошло. Условная независимость событий. Если выпад соотношение что: Р(А/В)=Р(А/В с черточкой)=Р(А) Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события. Пример: 1) В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных. Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые. 1. Обозн событий: А-событие что второй шар белый В-событие что первый шар белый. 2. Расчеты: Р(А/В)=(7-1):(10-1)=2/3 Р(А/Вс черточкой)=7:(10-1)=7/9 Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.
Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий. Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место. Р(А×В)=Р(А)×Р(В/А)= Р(В)×Р(А/В) Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей: Р(А×В)=Р(А)×Р(В) Если событий больше 2х,то: Р(∩-сверху n снизу i=1 ×Аi)=∩-сверху n снизу i=1Р(Аi) Следствие 1 Если события А1,А2, … Аn-равновероятны, т.е. вероятность Р(А1)=Р(А2)=…=Р(Аn)=Ру, то Р(∩-сверху n снизу i=1 ×Аi)=Рn Следствие 1 (совместны) Если события А1,А2, … Аn-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой: Р>=1=1-(1- Р(А1))(1-Р(А2))…(1-Р(Аn)) Р(А1)=Р(А2)=…=Р(Аn)=Р Р>=1=1-(1- Р)n
Пример: 1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов. а) случай параллельного соединения б) последовательного если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6 решение: 1. Обозн событий: А1-событие исправной работы 1ого элемента А2-второго 2. Расчет формулы: а) А=А1+А2(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий: Р(А)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1×А2) Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей. б) А=А1×А2 Р(А)=Р(А1)×Р(А2) 3. Расчеты: а) Р(А)=0,5+0,6-0,5*0,6=0,8(80%) б) Р(А)=0,5*0,6=30% Условная вероятность. Условие зависимости событий. Теорема умножения вероятностей. *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте. Формула полной вероятности. *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н1,Н2, … Hn образующих полную группу несовместных событий Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид: Р(А)=S(сверху n,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi) Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий. По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу 1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый? 1. Обозн событий: А-событие, что вынутый шар белый Н1- гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н2-из второй, Н3-из третьей. 2. Расчет формула: Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi) *3-т.к. 3 урны 3. Расчеты: Р( Н1 )= Р( Н2 )= Р( Н3 )=1/3- вероятность что он подойдет к урне Р(А/ Н1 )=4:(4+6)=0,4(40%) Р(А/ Н2 )=3/8 Р(А/ Н3 )=1 Р(А)=1/3*4/10+1/3*3/8+1/3*1=59% *59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар. 2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков. 1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака Н1-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н2-со второй
2. Расчетная формула: Р(А)= S (сверху 2,снизу i=1) Р(Нi) × Р(А/Нi) *2-т.к. 2 фабрики 3. Р( Н1 )* Р( Н2 )=3/4*1/4 Р(А/ Н1 )=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-… Р(А/ Н2 )=1-0,05=0,95 Р(А)=9/10*3/4+1/4*95/100=91%
3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но. 1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт Н1-гипотеза,изделие 1ого вида Н2-2ого вида Н3-3его вида 2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi) *3-т.к. 3 вида изделий 3. Р( Н1 )=160/950 Р( Н2 )= 430/950 Р( Н3 )=360/950 Р(А)= 160/950*0,9+430/950*0,8+360/950*0,6=74% Теорема гипотез (формула Байеса) *Событие – результат (исход) испытания. *Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место. Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности. Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле: Р(Нi /А)= (Р(Нi)× Р(А/Нi)):(S(сверху n,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi)) Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события. Пример: 1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без? 1. Обозн событий и их вероятностей: А-событие попадания в цель Н1-гипотеза,из опт винтовки Н2-без оптики 2. Расчетн формулы: Вероятность гипотезы Нi до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события: Р(Н1 /А)= (Р(Н1)× Р(А/Н1)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi)) Р(Н2 /А)= (Р(Н2)× Р(А/Н2)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi)) 3. Расчеты: Р(Н1)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок Р(Н2)=2/5 Р(А/Н1)=95/100 Р(А/Н2)=70/100 Р(Н1 /А)=(3/5*95/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=57/85 Р(Н2 /А)=(2/5*70/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=28/85 Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки. 2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера. 1. А-событие что деталь небрак Н1-гипотеза,что с первого конвеера Н2-со второго Н3-с третьего. 2. Р(Н3 /А)= (Р(Н3)× Р(А/Н3)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Нi)× Р(А/Нi)) 3. Р( Н1 )=m/n=150/(150+300+350)=150/800 Р( Н2 )= 300/800 Р( Н3 )=350/800 Р( Н1 )+Р( Н2 )+Р( Н3 )=1 Р(А/Н1)=1-0,3=0,7 Р(А/Н2)=1-0,2=0,8 Р(А/Н3)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза. Р(Н3 /А)=(7/16*8/10):(3/16*7/10+3/8*8/10+7/16*8/10)=44,8%
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 2814; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.189.193.33 (0.1 с.) |