Вероятность случайного события

 

Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Классическое определение вероятности события А:

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А (m), к общему числу случаев (n).

У кабинета дежурного психотерапевта ожидают приема трое больных. Врачу известно по медицинским карточкам, что один из ожидающих, по фамилии Петров, болел в прошлом маниакально-депрессивным психозом. Врач интересуется этим больным, но не хочет вне очереди вызывать его в кабинет. Обозначим как событие А тот факт, что в кабинет врача входит больной Петров; как событие В обозначим то, что входит другой больной — Сидоров и как событие С — входит Иванов. События А, В и С — несовместимые и образуют полную группу (предполагается, что к врачу больные входят по одному). Так как появиться согласно очереди может равновероятно любой из больных, то до начала приема вероятность появиться первым в кабинете врача для одного из больных, в том числе для Петрова, равна .

При составлении команды космического корабля возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трех человек: командира, инженера и врача. На место командира есть три кандидата a₁, a₂, a₃; на место инженера — четыре кандидата — b₁, b₂, b₃, b₄; на место врача — два кандидата c₁, c_{2 .} Проведенная проверка показала психологическую несовместимость командира a₂ с инженерами b₃, b₄ и с врачом c₂, а также инженера b₂ с врачом c₂. Будем для простоты считать, что без учета фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которого психологически совместимы друг с другом.

Представим все варианты состава, при которых члены экипажа совместимы друг с другом в виде «дерева» (рис. 12.1). Число ветвей этого дерева, т. е. исходов, благоприятствующих событию А, равно 16, а общее число возможных комбинаций по правилу умножения равно произведению 4•3•2=24. Искомая вероятность .

 

Лабораторная крыса, помещенная в лабиринт, должна избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к поощрению в виде пище. В предположении, что крыса с одинаковой вероятностью изберет любой путь, какова вероятность выбранного пути, ведущего к пище?

Решение:

Подбрасываются 2 монеты. Какова вероятность, что обе упадут "гербом" кверху?

Решение: 4 исхода бросания двух монет: ГГ, ГР, РГ, PP.

Пусть событие А - "выпали 2 герба" - этому событию благоприятствует один исход.

.

Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 или 8?

Решение: Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков".

Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Событие B благоприятствует 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).

Всех равновозможных исходов n = 6² = 36.

Итак, Р(А) > Р(В) получить в сумме 7 очков более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.

 

Закон сложения вероятностей

 

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то сумма А + В означает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + (В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (A) + P (В) – Р (АВ).

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице P (A ₁)+ P (A ₂)+…+ P (A _n)=1 или .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р () = 1,

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый равно 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

Вероятность попадания в опухолевую клетку "мишень" первого радионуклида равна Р(A ₁ ) = 0,7, а второго – Р(A ₂ ) = 0,8. Найти вероятность попадания в клетку-"мишень", если бы одновременно использовались оба препарата.

Решение: Р (А₁ + A₂) = Р (А₁) + Р (A₂) – Р (А₁ A₂) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% – мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют и мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение: А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ). Тогда

Р (А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 0,25 = 0,65.

 

Варианты заданий

 

№12.1. В коробке 30 таблеток: 10 красных, 5 желтых, 15 белых. Найти вероятность появления цветной таблетки (т.е. или красной или желтой).

№12.2. В картотеке имеются истории болезней 8 пациентов. Если наугад взять первую, затем вторую, третью и т.д. истории болезней, то какова вероятность в каждом случае изъятия нужной истории болезни? Предполагается, что искомая история болезни имеется в картотеке. Рассмотрите 2 варианта: а) взятые истории болезней не возвращаются в картотеку; б) взятые истории болезней каждый раз возвращаются в картотеку и хаотически располагаются в ней.

№12.3. В коробке имеется 7 желтых и несколько белых таблеток. Какова вероятность вытащить белую таблетку, если вероятность вытащить желтую таблетку равна .Сколько белых таблеток в коробке?

№12.4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

№12.5. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру, и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что набранная цифра правильная?

№12.6. Одна секретарша напечатала 5 различных писем и надписала 5 конвертов с адресами. Предположим, что она вкладывает письма в конверты случайным образом. Какова вероятность того, что ровно четыре письма будут вложены в конверты с адресами тех лиц, кому они предназначены?

№12.7. Числа от 1 до 100 записывают на полосках бумаги, которые помещают в чашу. После продолжительного встряхивания случайным образом извлекают одну полоску.

а) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3?

б) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3 и на 5?

№12.8. Профессор выставляет 20 разных оценок за контрольные работы 20 студентов группы и заносит их в компьютер. При распечатке ведомости из-за ошибки в компьютере оценки случайно смешались.

а) Какова вероятность того, что каждый студент получит свою верную оценку?

б) Какова вероятность того, что ровно 19 студентов получат свои верные оценки?

№12.9. В клетке содержат 6 белых и 4 серых мыши. Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном извлечении из клетки трех мышей.

а) Опишите пространство выборок этого эксперимента.

б) Вычислите вероятность для четырех возможных комбинаций цвета мышей (3 белых, 2 белых и 1 серая и т.д.).

№12.10. Из 20 человек, одновременно заболевших гриппом, 15 выздоровели полностью за три дня. Предположим, что из этих 20 человек случайным образом выбиралось 5. Какова вероятность того, что все 5 выздоравливают за три дня? что выздоравливают только 4 человека? что ни один не выздоравливает?

№12.11. Требуется выбрать наудачу 10 человек из группы в 10 мужчин и 10 женщин.

а) Какова вероятность того, что выбрано 10 мужчин?

б) Какова вероятность того, что выбрано больше мужчин, чем женщин?

в) Какова вероятность того, что выбрано по крайней мере 8 мужчин?

№12.12. За игрушечной пишущей машинкой с буквами A, В, С, D и Е сидит шимпанзе. Если шимпанзе печатает четыре случайных буквы, то:

а) какова вероятность того, что окажется напечатанным слово «BEAD» («шарик»)?

б) какова вероятность того, что все напечатанные буквы одинаковы?

№12.13. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

№12.14. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см³)?

№12.15. Вероятность того, что некий человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?

№12.16. При изучении миграций белого медведя девять медведей были помечены числами от 1 до 9. Три медведя отловлены повторно.

а) Пусть А_i обозначает событие, состоящее в том, что i -й отловленный медведь помечен четным числом. Какова вероятность Р(A ₁), Р(А ₂), Р(А ₃)?

б) Найдите события A ₁+ A ₂ и A ₁+ А ₂+ А ₃.

№12.17. В ванну, где содержатся 3 рыбы: А, В и С, время от времени помещают кусочки пищи. Каждый раз, когда бросают кусочек, рыбы конкурируют за него. Допустим, что за длительный период было установлено, что А или В добивались успеха в течение времени, а А или С в течение всего времени наблюдения. 1) Какова вероятность того, что добивается успеха рыба A? 2) Какая из рыб накормлена лучше

№12.18. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами болезней. Многолетние наблюдения показали, что этим группам соответствуют относительные частоты 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с частотой 0,1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных

№12.19. Опухоль-"мишень" разделена на три области. При использовании радионуклидного препарата вероятность поражения первой области равна 0,45; второй - 0,35. Найти вероятность того, что при однократном использовании радионуклид попадет либо в первую, либо во вторую область.

№12.20. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.

№12.21. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов A, В и С. Вероятность получения пакета из города A равна 0,6, а из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

№12.22. С первого предприятия поступило 200 пробирок, из которых 190 стандартных, а со второго - 300, из которых 280 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу взятая пробирка будет стандартной.

№12.23. На тридцати историях болезни написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30 (их порядковые номера). Эти истории болезни лежат на полке в случайном порядке. Какова вероятность вынуть историю болезни с номером кратным 2 или 3?

№12.24. В некоторой популяции у 40% людей волосы темные, у 40% — рыжие и у 20% —светлые. В этой популяции у всех темноволосых людей глаза карие, у всех светловолосых — голубые, у одной половины рыжеволосых — голубые, а у другой — карие. Пусть А ₁, А ₂ и А ₃ — события, состоящие в том, что у человека соответственно темные, рыжие и светлые волосы, и пусть B ₁ и В ₂ соответственно обозначают карие и голубые глаза.

а) Найдите Р(А ₁), Р(B ₁), Р(В ₂) и Р(А ₁ +B ₂).

б) Опишите событие А ₁ +A ₂+ A ₃. Найдите вероятность этого события.

№12.25. В популяции из 2000 плодовых мушек у 250 особей обнаруживают рецессивный признак крыла W и у 150 - рецессивный признак глаза Е. Предположим, что у 50 мушек обнаруживают оба признака. Для эксперимента по скрещиванию из популяции выбирают одну мушку.

а) Какова вероятность, что у этой мушки будет признак W? E?

б) Какова вероятность, что присутствует признак W и E?

в) Вычислите Р().