Интерполяционные формулы конечных разностей

 

Для функции f(x), заданной таблично, величина D_i=y_i+1-y_i называется первой нисходящей конечной разностью. Величина D²y_i=Dy_i+1-Dy_i - второй конечной разностью, а, следовательно, для произвольного порядка будем иметь

Dⁿy_i=D^n-1y_i+1-D^n-1y_i. (6.2)

Первая восходящая конечная разность определяется из

,

для разности второго порядка имеем формулу

и аналогично для произвольного порядка получаем

. (6.3)

Нисходящие разности употребляются в основном в начале таблицы, а восхо­дящие разности в конце её.

Для функции f(x), заданной в равноотстоящих точках, для интерполирования вперёд используется формула Грегори-Ньютона в виде.

(6.4)

где t=(x-x₀)/h - число шагов необходимое для достижения точки x, исходя из точки x₀;D^ky₀ - нисходящая конечная разность k -го. Погрешность этой формулы, называемой первой интерполяционной формулой Ньютона, определяется из

(6.5)

где x₀£x£x.

Полином выгодно использовать в окрестностях начального значения x₀, когда t - мало по абсолютной величине.

Если в (6.4) положить n =1, то получим формулу линейного интерполирования

P₁(x)=y₀+tDy₀, (6.6)

при n =2 будем иметь формулу квадратичного интерполирования.

. (6.7)

За начальное значение x₀ можно принять любое x. Тогда формула (6.4) содержит только те значения y(x), которые идут после этого начального значения.

Если дана неограниченная таблица значений y, то степень полинома n может быть любой и её выбирают из условия, чтобы Dⁿy была с заданной степенью точности постоянной.

Формула Грегори-Ньютона для интерполирования назад (вторая интерполяционная формула Ньютона) имеет вид

(6.8)

где t=(x-x_n)/h.

Погрешность формулы (6.8) определяют по

, (6.9)

в котором .

Формулу рекомендуется применять вблизи конца таблицы. Обе формулы можно использовать для экстраполяции y(x), если она на концах [a,b] изменяется плавно. Шаг экстраполяции берётся h/ 2.

 

Интерполяционные формулы центральных разностей

 

Для функции y=f(x) заданной в равноотстоящих узлах центральные разности определяются соотношением

; ; , (6.10)

которое с учётом нисходящих и восходящих разностей имеет вид

Dy_-n, Dy_-n+1,…, Dy_-2, Dy_-1, Dy₀ ,, Dy₁,y₂,…,y_k-1,y_n (4.11)

Узлы интерполирования в этом случае размещены симметрично относительно x₀, а их значения

, ±n.

Значение f(x) в точке x_i<x<x_i+1, не совпадающей с узлом интерполирования, может быть определено с помощью полинома Стирлинга

, (6.12)

где t=(x-x₀)/h, - центральные разности.

Погрешность формулы Стирлинга

. (6.13)

Формулу (6.12) используют для интерполирования в середине интервала [a,b], около конца и начала его (в последнем случае (6.12) даёт более точный результат). Центральную точку x₀ выбирают так, чтобы –0,5 £t£ 0,5.

Знание центральных разностей позволяет использовать при интерполяции полином Бесселя

Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами

 

Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу

(6.14)

или в развёрнутом плане

(6.15)

Погрешность при вычислении определяется выражением

 

, (6.16)

где ; i= 0,1,2,..., n; формула (6.15) имеет большую точность для средних отрезков , она менее эффективна для крайних отрезков. Значения независимой переменной в формуле могут быть как равно-, так и не равноотстоящими.

 

Примеры

№1 Найти значение интерполирующего полинома для функции y=e^x заданной таблицей.

х	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
у	33,115	34,813	36,598	38,475	40,447

 

на интервале [3,5; 3,6] с шагом =0,05.

Решение. Составим таблицу с нисходящими конечными разностями для заданных точек функции y=e^x

 

х	у	Δу	Δ^2 у	Δ^3 у
3,50 3,55 3,60 3,65 3,70	33,115 34,813 36,598 38,475 40,447

 

Отмечаем, что значения конечных разностей третьего порядка примерно одинаковы, а это значит, что нужно использовать полином P_n(x) степени n=3. Для х₀=3,50 и у₀=33,115, мы имеем отыскиваемый полином в виде.

или с учетом значений

 

№2 Необходимо найти значение функции y(x) для x₁=1,2173 по данным таблицы.

 

x	y
1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008

 

Найдем для этого случая нисходящие конечные разности.

i	xi	yi	Δуi	Δ^2 уi
	1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 1.255 1.260	0.106044 0.106491 0.106935 0.107377 0.107818 0.108257 0.108696 0.109134 0.109571 0.110008	0.000447 0.000444 0.000442 0.000441 0.000439 0.000439 0.000438 0.000437 0.000437 -	-0.000003 -0.000002 -0.000001 -0.000002 -0.000001 -0.000001 - -

 

Отметим, что, начиная со второго порядка, конечные разности примерно одинаковы. Следовательно, воспользуемся полиномом Ньютона второго порядка, для x=1,2173.

 

№3 Пусть y_x функция заданная таблицей с неравноотстоящими значениями аргумента.

x	y
0,103 0,108 0,115 0,120 0,128 0,136 0,141 0,150	2,01284 2,03342 2,06070 2,07918 2,10721 2,13354 2,14922 2,17609

 

Нужно вычислить значение функции для x₁=0,112.

Воспользуемся формулой Лагранжа

где используются разделенные разности.

Составим таблицу этих разностей.

 

xi	yi	f(xi,xi+1)	f(xi,xi+1,xi+2)
0,103 0,108 0,115 0,120 0,128 0,136 0,141	2,01284 2,03342 2,06070 2,07918 2,10721 2,13354 2,14922	4,116 3,896142 3,696 3,503750 3,291250 3,136 -	-18,238166 -16,761833 -14,788461 -13,281250 -11,942307 - -

 

Затем определяем f(0,112) двумя методами, для x₀ равным соответственно 0,103 и 0,108:

 

В результате имеем f(0,112) ≈ 2,04922.

№4 Оттискать эмпирическую формулу для функции y_x заданной таблично.

 

X
y	5.2	8.0	10.4	12.4	14.0	15.2

 

Вычислим нисходящие конечные разности второго порядка

 

x	y	Δy	Δ^2 y
	5.2 8.0 10.4 12.4 14.0 15.2	2.8 2.4 2.0 1.6 1.2	-0.4 -0.4 -0.4 -0.4

из таблицы видим, что , а это значит необходим полином Ньютона второй степени. Запишем его в виде

y = 5,2 + 2,8x – x(x – 1)

в итоге имеем

 

y = 5,2 + 3x – 0,2x².

№5 Пусть y_x заданнасвоими значенияи в нижеприведенной таблице. Необходимо вычислить значение y_x для аргумента x=0,304, используя полиномы Ньютона первого и второго порядков.

x	y
0,29	3,25
0,30	3,17
0,31	3,12
0,32	3,04
0,33	2,98
0,34	2,91

 

Полином Ньютона первого порядка

y(0,304) = y₀ + q∙Δy₀;

h(x) = x₁- x₀ = 0,31-0,30 = 0,01.

Δy₀ = y₁- y₀ = 3,12 - 3,17 = -0,05.

y(0,304) = 3,17 + 0,4 ∙ (-0,05);

y(0,304) = 3,15.

Полином Ньютона второго порядка

Δ²y₀ = Δ¹y₁ – Δ¹y₀ = 3,04 – 3,12 – (-0,05) = -0,03.

y(0,304) = 3,153.

 

Варианты заданий

6.1. Найти значение функции, используя формулу Лагранжа по данным таблицы

Таблица 1

х	у		Вариант №	х
0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973			0,702 0,512 0,645 0,736 0,608

 

 

Таблица 2

х	y		Вариант №	х
0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976			0,102 0,114 0,125 0,203 0,154

 

6.2. Найти значения функции, используя полиномы Ньютона для начала и конца интервала интерполяции.

 

Таблица 3

х	у		Вариант №	х
1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400	5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788			1,3832 1,3926 1,3862 1,3934 1,3866

 

Таблица 4

х	у		Вариант №	х
0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140	8,65729 8,29329 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613			0,1264 0,1315 0,1232 0,1334 0,1285

 

Таблица 5

х	y		Вариант №	х
0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175	6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583			0,1521 0,1611 0,1662 0,1542 0,1625

6.6. Контрольные вопросы