Однородные уравнения первого порядка

№4. Найти общее решение уравнения (х+у) dx–xdy= 0.

Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,

P (λx, λy) =λx+λy=λ (x+y) = λP (x,y), Q (λx, λy) = –λx=λ (–x) =λQ (x, y).

Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим

(х+uх) dх–х (хdu+udх) = 0, откуда хdх + uхdх–х ² du–хudх= 0; х dх–х ² du= 0 или dх–хdu= 0.

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим

, .

Заменяя в полученном выражении u на , получим у=x ln (Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.

Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):

. Иначе . Далее применять указанную выше подстановку и т.д.

№5. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):

Полагая у = uх, находим Подставим значения в данное уравнение: . Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные и интегрируя, находим:

.

Подставим теперь в полученное решение. Имеем где .

Итак, общее решение исходного уравнения

№6. Найти частное решение уравнения если у=– 1 при х= 1.

Решение. Перепишем уравнение в виде

х ² dy = (xy + y ² ) dx (*)

и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем

х ² (udх + хdu) = (х^.uх+u ² х ² ) dх;

x ² (udx+xdu) =x ² (u+u ² ) dx;

udx+xdu= udx+ u ² dx; т.е.

xdu= u ² dx.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим

.

Так как u = , то .

Используя начальные условия х =1, у = –1,имеем1=ln1 + C, откуда С =1. Следовательно,

,

Отсюда получаемискомое частное решение данного уравнения .

№7. Привести дифференциальное уравнение

к однородному.

Решение. Иначе это уравнение можно записать так . Здесь , поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+ 2 ) du– ( 2 u+ 2 α+v+β+ 6 ) dv= 0, т. е.

(u+ (β+ 2 )) du –( 2 u+v+ ( 2 α+β+ 6 )) dv= 0.

Подберем α и β так, чтобы Решая систему, находим

α= – 2, β= – 2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): , т.е. является однородным.

Линейные уравнения первого порядка

№8. Решить уравнение .

 

Решение. Здесь P (x)=– ctg x, Q (x) = sin x. Решим уравнение двумя методами.

I. Метод Лагранжа

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е. . Предположим, что (у =0 – решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим

, ,

Отсюда .

Общее решение ЛНДУ ищем в виде .

Найдем .

Подставим у и в исходное уравнение:

или .

Получили или . Тогда .

Следовательно, общее решение исходного уравнения есть y= (x+C) sin x.

II. Метод Бернулли

Пусть . Тогда и уравнение принимает вид

,

или

.

Подберем функцию u (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,

.

Откуда u=С ₁ × sin x.

Пусть С ₁=1, u= sin x.

, отсюда , т.е. .

Итак, y= (x+C)· sin x, есть общее решение данного ЛНДУ.

№9. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно х и . Так как , то приведем исходное уравнение к виду (10.6):

, т.е. или Далее это ДУ решим двумя методами:

 

Метод вариации произвольной постоянной

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ Разделяя переменные и интегрируя, получим ln | x | = ln | y | + ln | C ₁|, C ₁ .

Общее решение ЛОДУ можно записать так х= Су, (так как х= 0 – решение).

Общее решение заданного (преобразованного) уравнения ищем в виде х=С (у) у (постоянную С заменили неизвестной функцией С (у)). Подставляя х и в ЛНДУ, придем к равенству:

, т.е.

.

Отсюда . Интегрируя, имеем С (у) = у + С.

Таким образом, общее решение ЛНДУ есть х = (у + С) у или х = у ² + Су. Заметим, что у = 0 также является решением, и для нашего примера оно является особым.

 

Метод подстановки

Полагаем , где u=u (y), v=v (y) – функции переменной у. Подставим х и в уравнение

или

. (*)

Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,

откуда v=Cy, .

Выбираем одно из частных решений (самое простое), например, при С = 1, т. е. v = y. Подставив v = y в уравнение (*), получим или . Тогда u = у + С. Следовательно, общее решение заданного уравнения х = у ² + Су, , при этом у = 0 – особое решение.

 

Варианты заданий

Уравнения с разделяющимися переменными

№10.1. Найти общие интегралы (общие решения) уравнений.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

№10.2. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .