Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения второго порядка↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Задача 6. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .
Решение:
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где – некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:
; ; , откуда или .
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка : ; .
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; . Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Задача 7. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; . Решение:
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента . Если , то . Тогда данное уравнение примет вид ; ; . Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; – решение данного уравнения.
Приравняем нулю второй множитель: ; ; ; или . Используя начальные условия, находим : ; . Далее решаем уравнение : ; . Теперь определим значение : ; . Тогда ; и – искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 8. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям: а) ; б) .
Решение:
При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где – многочлен степени , – многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – какое-либо частное решение неоднородного уравнения. 1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение , при решении которого возможны следующие случаи: 1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные; 2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные; 3) уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные. 2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где – многочлен степени , – многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и – многочлены степени , , а – кратность корня характеристического уравнения . При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:
Решение:
а) . Общее решение данного уравнения имеет вид: . Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или . Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , таким образом =1. Получаем: , так как , =1, =0, то , . Найдём производные первого и второго порядка от , . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения: Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и . отсюда Тогда – частное решение исходного уравнения. б) Общее решение данного уравнения имеет вид: . Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Так как решения комплексные числа (третий случай), то или . Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда . Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0. Получаем: , т.к. , =1, =0, то . Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, таким образом =0. Получаем: , так как , =1, то . Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от . , . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения: Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и . отсюда Тогда - частное решение исходного уравнения. Ряды и их приложения Задача 9. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Решение:
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд Маклорена функции sinx, имеем: , тогда Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.
|
|||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-11; просмотров: 315; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.242.223 (0.008 с.) |