Тема 5.2 Численное дифференцирование

Интегральные формулы Ньютона и Гаусса. Численное дифференцирование.

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите формулы Ньютона и Гаусса.

2. Перечислите методы численного дифференцирования.

4.2 Ознакомление с рекомендуемыми нормативными документами, Интернет-ресурсами по учебной дисциплине

Перечень учебных изданий, интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика(СПО): учебное пособие.- Москва: КноРус, 2013. — 394 с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/ 915056

2. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник для общеобразоват учреждений / Ю.В. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015. – 366с.

3. Математика для экономистов: учебное пособие/ С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. – М.:КНОРУС, 2016. – 264с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/ 918834

Дополнительные источники:

1. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум: учебное пособие / Н.Ш. Кремер под общ.ред., Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. — Москва: КноРус, 2015. - 479 с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/916680

2. Тематические тесты УМК «Математика. ЕГЭ - 2015» / под ред. Ф.Ф. Лысенко –Ростов - на – Дону: «Легион-М», 2015

3. Математика /Дадаян А.А./: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2015.- (Серия «Профессиональное образование»).

Интернет-ресурсы:

1. http://elibrary.ru/defaultx.asp (Научная электронная библиотека)

2. https://www.book.ru/ (Электронная библиотечная система)

3. http://biblioclub.ru/ (Университетская библиотека онлайн)

4. http://grebennikon.ru/ (Электронная библиотека Grebennikon)

5. www.fcior.edu.ru (Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов — ФЦИОР).

6. www.school-collection.edu.ru (Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов).

7. www.intuit.ru/studies/courses (Открытые интернет-курсы «Интуит» по курсу «Математика»).

8. www.megabook.ru (Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия, разделы «Наука / Математика. Кибернетика» и «Техника / Компьютеры и Интернет»).

9. www.digital-edu.ru (Справочник образовательных ресурсов «Портал цифрового образования»).

10. www.window.edu.ru (Единое окно доступа к образовательным ресурсам Российской Федерации).

Выполнение контрольной работы

Работа должна быть оформлена в соответствии с методическими указаниями.

Обучающийся выбирает номер варианта контрольной работы в зависимости от двух последних цифр номера своего студенческого билета

Таблица 1.

	Последняя цифра в номере студенческого билета
Предпоследняя цифра в номере студенческого билета

 

Варианты контрольных работ

Вариант 1

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:

а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

 

 

Вариант 2

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:

а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

 

Вариант 3

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:

а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 4

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:

а) б) в)

г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 5.

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка .

 

 

Вариант 6

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 7

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 8

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 9

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка

Вариант 10

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка .

Вариант 11

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 12

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 13

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 14

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 15

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 16

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям ,

Вариант 17

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) ; б) в) ; г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 18

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 19

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям ,

Вариант 20

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 21

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям ,

Вариант 22

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 23

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы:а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 24

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Вариант 25

№1.

Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса:

№2

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)

 

№3

Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

 

 

№4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда

№5

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .

Примерные решения некоторых тематических задач

Элементы линейной алгебры.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Гаусса; б) с помощью определителей;

Решение

а) Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на (–5) и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

(1)

 

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

(2)

 

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) переменную х₂. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на (-7) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда x₃ = 3, х₂ = 1 и х₁ = –2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, то есть матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид:

.

Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получ