Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

₅₎Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка_:

26) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

.

В дифференциальных уравнениях или переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как .

 

 

Пример.

Решить уравнение: .

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений и находим X=1, Y=-1. Эти решения – частные решения.

 

 

27) Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка:

 

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

(7)

 

Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

 

28) Линейные уравнения первого порядка:

 

Уравнение вида:

y'+p(x)у=q(х) (10)

где р(х) и q(х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если q(х) = 0, то уравнение (10) называется линейным однородным уравнением. Если q(х)≠0, то уравнение (10) называется линейным неоднородным уравнением.

 

 

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения:

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b], а функции y₁(x), y₂(x),..., y _n (x) образуют систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C _n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) +... + C _n y_n (x) + y *(x),

где C₁,...,C _n — произвольные постоянные, y *(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

 

 

29) Дифференциальные уравнения второго порядка:

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде

.

Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения.

Теорема. Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам y и непрерывны в некоторой области, содержащей , то существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям и .

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях и является решением дифференциального уравнения.

Если в общее решение подставить конкретные значения и , то получится частное решение дифференциального уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при : , . Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение,единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием , совпадают на пересечении интервалов определения.

30) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка:

 

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

 

Определителем Вронского W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) из C _{n -1}[ a, b ], а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) ≡ 0 на [a;b].

Другими словами, функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

 

31) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка:

 

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x) однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения:

 

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

 

Метод вариации постоянных

Если общее решение y ₀ однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C ₁ и C ₂ будем рассматривать вспомогательные функции C ₁(x) и C ₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f (x).