Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка

Сведения из теории

Сделаем в уравнении замену переменных: введем новую неизвестную функцию , связанную с искомой функцией соотношением , где – дифференцируемая функция. Подставляя выражения и через в (3.1), получим для нахождения уравнение вида , которое при удачном выборе замены может оказаться «проще» первоначального. Например, уравнение

 

заменой переменной сводится к уравнению с разделяющимися переменными

.

 

Примеры решения задач

3.2.1. Решить уравнение .

◄ Введем новую неизвестную функцию . Выразим и через z: . Подставим эти выражения в исходное уравнение и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.

.

.

– общее решение уравнения.►

3.2.2. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

◄ Так как , то естественно сделать замену . Для функции получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и начальное условие . Разделяем переменные: , , интегрируем: , выражаем z, а затем и y через x

, , ,

, ,

– искомое решение.►

 

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

3.3.1. . 3.3.2. . Указание: Сделать замену . 3.3.5. . Указание: .

3.3.3. . 3.3.4. . Указание: Поскольку , то рекомедуется сделать замену . 3.3.6. . Указание: .

 

Однородные уравнения

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение, которое можно записать в виде

 

 

называется однородным. Оно сводится заменой переменной

к уравнению с разделяющимися переменными для функции .

.

Важным примером однородного уравнения является уравнение, правая часть которого – отношение однородных многочленов относительно и одного порядка

.

Оно приводится к виду, если числитель и знаменатель разделить на .

 

Примеры решения задач

4.2.1. Решить уравнение .

◄ Правая часть уравнения – отношение однородных многочленов 2-го порядка. Разделив числитель и знаменатель на , получим

– однородное уравнение. Делаем замену . Тогда , . Для функции получаем уравнение с разделяющимися переменными: - общий интеграл. ►

 

4.2.2. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .

◄ Приведем уравнение к нормальному виду . Так как х и у входят в правую часть только в виде отношения , то это – однородное уравнение. Делаем замену , . Для функции получаем уравнение и начальное условие . Разделяем переменные: , ; ; , и потому – искомое решение.►

 

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

4.3.1. .	4.3.2. .
4.3.3. .	4.3.4. .
4.3.5. . 4.3.7. .	4.3.6. . 4.3.8. .

Линейные уравнения ПЕРВОГО порядка

Сведения из теории

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, называется линейным, если его правая часть – линейная функция от

.

 

При получаем линейное однородное уравнение

 

.

 

Оно является уравнением с разделяющимися переменными, и его общее решение

,

 

где – одна из первообразных функции . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти одним из следующих методов.

 

1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

 

получающемся из заменой постоянной на функцию . Подставляя в уравнение, получаем для новой неизвестной функции уравнение . Интегрируя, находим

 

 

Подставляя в, получаем общее решение уравнения.

 

Метод Бернулли.

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя в уравнение, получим . Перепишем это уравнение в виде

 

.

 

Подберем так, чтобы скобка в уравнении обратилась в нуль. Для этого нужно найти какое-нибудь частное решение уравнения с разделяющимися переменными . Подставляя в, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции

.

 

Интегрируя, находим его общее решение . Перемножая найденные значения и , получим общее решение неоднородного уравнения .

 

Примеры решения задач

5.2.1. Решить уравнение

.

 

◄ Уравнение записано в нормальной форме. Его правая часть является линейной функцией аргумента у. Следовательно, уравнение – линейное. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения . . .

Решение неоднородного уравнения ищем в виде , где – новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение, получим

.

Итак, общее решение , где справа буквой С обозначена, как и везде, произвольная постоянная. После преобразований запишем его в виде

. ►

 

5.2.2. Решить задачу Коши .

◄ – линейное уравнение. Решаем методом Бернулли: . Подставляя и в исходное уравнение, получаем . Сгруппируем члены, содержащие в качестве множителя

.

 

Приравняем скобку к нулю и решаем полученное уравнение.

 

.

 

Поскольку нам нужно только частное решение уравнения, то примем , тогда . Подставляя в уравнение, получим

.

Перемножая u и v, находим общее решение . Подставляя в общее решение начальные значения и , получим . Искомое решение .►

5.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

5.3.1. .	5.3.2. .
5.3.3. .	5.3.4. .
5.3.5. .	5.3.6. .
5.3.7. .	5.3.8.

 

5.3.9. Известно, что сила тока в цепи, имеющей сопротивление , самоиндукцию удовлетворяет уравнению , где – электродвижущая сила. Найти силу тока , если , в случаях

а) , б) .

УравнениЯ Бернулли

Сведения из теории

Уравнение Бернулли – это уравнение первого порядка, имеющее в нормальной форме вид

, .

Методы решения те же, что и для линейного неоднородного уравнения, являющегося частным случаем уравнения Бернулли при .

 

Примеры решения задач

6.2.1. Решить уравнение Бернулли .

◄ Решаем методом Бернулли , . Подберем v, так чтобы . Тогда . Возьмем . Подставляя в уравнение, получаем для функции u уравнение с разделяющимися переменными

– общее решение.►

6.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Решить уравнения.