УравнениЯ в полных дифференциалах

Сведения из теории

Будем рассматривать дифференциальное уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме

 

.

 

В нормальной форме оно имеет вид

 

.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является дифференциалом некоторой функции

.

 

Если функции и непрерывны вместе со своими производными в некоторой односвязной области[1] D, то равенство

 

 

– необходимое и достаточное условие того, что является в области D уравнением в полных дифференциалах.

Так как уравнение можно переписать в виде , то - его общий интеграл. Функцию u можно найти по формуле

 

,

 

где – какая-нибудь точка из D.

Примеры решения задач

7.2.1. Решить уравнение .

◄ Данное уравнение не принадлежит ни к одному из типов, которые мы умеем определять по их нормальной форме. Перепишем исходное уравнение в дифференциальной форме

 

.

 

Область определения этого уравнения – односвязна. Проверяем условие.

. .

Таким образом, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Находим по формуле при

Итак, общий интеграл уравнения имеет вид . ►

7.3. Задачи для самостоятельного решения

7.3.1. .	7.3.2. .
7.3.3. .	7.3.4. .
7.3.5. .	7.3.6. .

Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка

Примеры решения задач

8.1.1. Для каждого из дифференциальных уравнений

 

,

,

,

,

,

определить, является ли оно уравнением одного из следующих типов:

1) уравнением с разделяющимися переменными,

2) однородным уравнением,

3) линейным уравнением,

4) уравнением Бернулли (но не линейным уравнением),

5) уравнением в полных дифференциалах,

6) не является уравнением типов 1) – 5).

◄ Уравнение приведем нормальному виду . В его правую часть переменные входят только в виде отношения , следовательно, – однородное уравнение и его можно решать заменой , . С другой стороны, правая часть является линейной функцией переменной y и уравнение является линейным. Поэтому его можно решать, например, методом Бернулли.

Уравнение имеет нормальный вид. Правую часть можно представить в виде произведения функции от x на функцию от y: , поэтому это уравнение с разделяющими переменными. Поскольку правую часть можно представить в виде , то уравнение является и линейным (линейным неоднородным). Однако нет смысла решать его ни методом Бернулли, ни методом Лагранжа (то есть делать замену переменных, сводящую уравнение к уравнению с разделяющимися переменными) ибо переменные изначально разделяются.

Уравнение записано в дифференциальной форме. Однако уравнением в полных дифференциалах оно не является, так как

, и . Приведем уравнение (8.3) к нормальному виду . Правая часть является отношением однородных многочленов первой степени. Разделив числитель и знаменатель на x, запишем уравнение в виде , то есть уравнение имеет вид и, следовательно, является однородным.

Уравнение равносильно уравнению , имеющему вид, то есть оно является уравнением Бернулли.

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как совпадают производные

и ,

а область определения уравнения – односвязна.

Ясно, что уравнение не принадлежит ни одному из типов 1) – 4) (хотя строго доказать это совсем непросто). Записав уравнение в дифференциальной форме , нетрудно убедиться, что условие не выполняется, и потому это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Итак, для уравнения имеет место случай 6), то есть мы не можем решить уравнение разобранными выше методами. ►

 

8.2. Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие дифференциальные уравнения.

8.2.1. .	8.2.2. .
8.2.3. .	8.2.4. .
8.2.5. .	8.2.6. .
8.2.7. .	8.2.8. .
8.2.9. .	8.2.10. .
8.2.11. .	8.2.12. .
8.2.13. .	8.2.14. .
8.2.15. .	8.2.16. .

 

Для каждого из следующих дифференциальных уравнений определить, является ли оно уравнением одного из типов:

1) уравнением с разделяющимися переменными,

2) однородным уравнением,

3) линейным уравнением,

4) уравнением Бернулли (но не линейным уравнением),

5) уравнением в полных дифференциалах,

6) не является уравнением типов 1) – 5).

 

8.2.17. .	8.2.18. .
8.2.19. .	8.2.20. .
8.2.21. .	8.2.22. .
8.2.23. .	8.2.24. .
8.2.25. .	8.2.26. .
8.2.27. .	8.2.28. .
8.2.29. .	8.2.30. .

 

Дифференциальные уравнения

Высших порядков

Сведения из теории

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется функциональное уравнение вида , связывающее независимую переменную , искомую функцию – решение уравнения и ее производные .

Будем рассматривать только уравнения, которые можно разрешить относительно старшей производной:

 

.

 

Задача Коши для уравнения состоит в том, что ищется решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

 

,

 

где – заданный набор из -го числа.

Теорема существования и единственности. Если функция в окрестности точки в непрерывна и имеет непрерывные частные производные, то на некотором промежутке существует (и притом единственное) решение уравнения, удовлетворяющее условиям.

Общим решением уравнения n-го порядка в области называется семейство его решений, зависящее от n параметров и содержащее решение любой задачи Коши, если .

Краевая задача для уравнения n -го порядка состоит в том, что ищется решение уравнения , удовлетворяющее граничным условиям: задаются значения или ее производных более чем в одной точке. Число условий обычно совпадает с порядком уравнения.

 

Примеры решения задач

9.2.1. Дано уравнение второго порядка

.

 

Убедиться, что – общее решение уравнения. Найти а) решение, удовлетворяющее начальным условиям , ; б) решение, удовлетворяющее граничным условиям , .

◄ Находим производные функции : , . Подставляя и в уравнение, убеждаемся, что оно обращается в тождество и . Пусть – произвольные числа. Покажем, что можно подобрать и так, чтобы удовлетворяло начальным условиям

Это система линейных уравнений относительно и . Ее решение

, .

Таким образом, – общее решение.

а) При , получаем , – решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

б) Подберем и так, чтобы решение удовлетворяло заданным граничным условиям.

, .

Таким образом, – решение краевой задачи , , .

 

9.3. Задачи для самостоятельного решения

 

9.3.1. Убедиться, что является общим решением уравнения . Найти а) решение, удовлетворяющее начальным условиям , ; б) решение, удовлетворяющее граничным условиям , .

Дифференциальные уравнения,