Линейные однородные уравнения

С постоянными коэффициентами

Сведения из теории

Рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка

 

,

где – действительные числа.

 

Общее решение этого уравнения находится по следующему правилу:

1. Заменяя в производные на степени , составим характеристическое уравнение

 

.

 

 

Это алгебраическое уравнение степени n. Находим его корни (действительные и комплексные).

 

2. Для каждого действительного корня кратности s выписываем s линейно независимых решений

 

,

которые ему соответствуют.

 

3. Для каждой пары комплексных корней кратности s выписываем 2 s линейно независимых решений

 

им соответствующие.

 

4. Объединяя все найденные решения, получаем n линейно независимых решений – фундаментальную систему решений (ф.с.р.)

 

.

 

5. Общее решение записывается в виде

 

.

 

 

Примеры решения задач

12.2.1. Решить задачу Коши.

.

 

◄ Заменяя на , на , на , получаем характеристическое уравнение . Его корни , действительны и имеют кратности 1. Поэтому – фундаментальная система решений, а общее решение уравнения имеет вид

.

 

Найдем . Подставляя в выражения для и начальное значение , получим

откуда находим . Таким образом, решение задачи Коши имеет вид .►

 

12.2.2. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение .

– корень кратности 2.

– ф.с.р.

– общее решение. ►

 

12.2.3. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни . Поэтому

– ф.с.р., а

– общее решение. ►

 

12.2.4. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение . Его корни , . Корню соответствует в фундаментальной системе решение , паре комплексных сопряженных корней – решения , . Общее решение .►

 

 

12.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

12.3.1. .	12.3.2. .
12.3.3.	12.3.4. .
12.3.5. .	12.3.6. .
12.3.7. , .	12.3.8. .
12.3.9. , .	12.3.10. , .
12.3.11. .	12.3.12. .
12.3.13. .	12.3.14.

13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n -го порядка.

Метод неопределенных коэффициентов

Сведения из теории

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -го порядка

 

 

можно представить в виде

 

,

где – какое-нибудь частное решение уравнения, а – ф.с.р. соответствующего линейного однородного уравнения

 

Иными словами, общее решение линейного неоднородного уравнения – сумма его частного решения и общего решения линейного однородного уравнения.

Рассмотрим часто встречающееся в приложениях уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида

 

,

где , – многочлены.

Частное решение такого уравнения можно искать в виде

 

,

 

где , – многочлены с неопределенными (буквенными) коэффициентами степени ; показатель , если корни характеристического уравнения не совпадают с , и равно кратности корня характеристического уравнения, если . Заметим, что при решении конкретных задач коэффициенты многочленов и обычно удобнее обозначать не одной буквой с индексом, как выше, а разными буквами, например

 

Рассмотрим некоторые частные случаи.

 

Таблица. Частные случаи правых частей