Допускающие понижение порядка

Сведения из теории

 

Укажем несколько типов дифференциальных уравнений, которые заменой переменных можно свести к уравнениям меньшего порядка.

 

10.1.1. Простейшее дифференциальное уравнение n -го порядка

Это уравнение вида . Его общее решение находится n- кратным интегрированием

,

,

…………..

.

 

10.1.2. Уравнение n -го порядка, не содержащее явно искомой функции

и ее производных до -го порядка включительно

.

 

Его можно рассматривать как уравнение -го порядка относительно функции :

.

Пусть – его общее решение. Тогда общее решение уравнения находится из уравнения

k -кратным интегрированием, в соответствии с п. 10.1.1.

 

Уравнение второго порядка, не содержащее явно

независимой переменной x

.

 

Введем новую неизвестную функцию , связанную с соотношением

.

 

Дифференцируя по и используя правило дифференцирования сложной функции, находим

.

Подставляя выражения и в, получим уравнение первого порядка для функции

.

Пусть – его общее решение. Общее решение уравнения находим, решая уравнение с разделяющимися переменными

.

Аналогично, уравнение можно свести к уравнению -го порядка для функции , приняв .

Примеры решения задач

10.2.1. Решить уравнение .

◄ .

.

.►

 

10.2.2. Решить уравнение .

◄ Уравнение не содержит явно и . Делаем замену , тогда .

.

.

.►

Замечание. При решении задачи Коши значения постоянных целесообразно находить последовательно в процессе решения, а не после нахождения общего решения.

 

10.2.3. Найти общее решение дифференциального уравнения , и решение, удовлетворяющее начальным условиям .

◄ Уравнение не содержит явно независимой переменной . Делаем замену , тогда . Подставив это выражение в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными для функции .

 

.

 

Таким образом, и для функции y получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Его общий интеграл имеет вид . Заметим, что левая часть этого уравнения не выражается через элементарные функции.

Найдем теперь решение, удовлетворяющее начальным условиям . Получать его из общего интеграла неудобно, поэтому вернемся к соотношению. Подставляя в него , получаем . Теперь . Выбираем знак «+», так как . Для нахождения искомого решения получаем уравнение

.

Подставляя в полученное соотношение начальные данные и , находим, что . В итоге получаем решение задачи Коши

.

Приведем теперь другой вариант решения задачи Коши, в котором используются определенные интегралы. Для функции имеем дифференциальное уравнение и начальное условие . Поэтому и, следовательно, . Теперь из уравнения и

начального условия получаем .►

10.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

10.3.1. .	10.3.2. .
10.3.3. . 10.3.4. .	10.3.5. . 10.3.6. .
10.3.7. .	10.3.8. , .
10.3.9. .	10.3.10. .
10.3.11. .	10.3.12. , .
10.3.13. , .	10.3.14. , .

11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n- го порядка

Сведения из теории

Система функций

 

, ,

 

называется линейно независимой, если равенство

имеет место только при .

Определителем Вронского системы функций называется определитель n -го порядка

.

 

Если хотя бы в одной точке , то система функций линейно независима.

Уравнение вида

 

 

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Фундаментальной системой решений (ф.с.р.) уравнения называется система , , из n линейно независимых решений этого уравнения. Зная ф.с.р., общее решение линейного однородного уравнения можно записать в виде

 

,

где – произвольные постоянные.

Примеры решения задач

11.2.1. Убедиться, что функции

 

,

 

образуют фундаментальную систему решений уравнения

 

.

 

Найти общее решение уравнения.

◄ 1) То, что функции решения уравнения легко проверить их подстановкой в уравнение.

2) Проверим линейную независимость системы функций:

a. Определитель Вронского

.

Следовательно, функции линейно независимы.

b. Линейную независимость системы можно проверить и исходя из определения. Пусть

 

.

 

Полагая , получим

 

 

Решая эту систему, находим , то есть система функций линейно независима.

3) Общее решение уравнения имеет вид

 

.►

11.3. Задачи для самостоятельного решения

Убедиться, что заданная система функций образует фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения. Найти общее решение.

 

11.3.1. , .

 

11.3.2. , .

 

11.3.3. Известно, что для функций определитель Вронского в точке равен нулю, а в точке не равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости (или независимости) этих функций на отрезке ?