Тема 1. Функции многих независимых переменных

Для решения задач по этой теме обратите внимание на то, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного аргумента, и если отыскивается, например, частная производная по переменной х, то переменная у считается при этом константой.

Обратите внимание на вычисление производной по заданному направлению и на связь этой производной с градиентом функции.

При исследовании функции z = f(x, y) на экстремум (при условии, что она дважды дифференцируема) пользуйтесь следующими правилами:

1) найдите честные производные функции z = f(x, y) и решите систему уравнений .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Пусть одна из них Р₀ (х₀, у₀).

2) Найдите частные производные второго порядка функции z = f(x, y) и вычислите их значения в точке Р₀ (х₀, у₀).

Положим А = , В = , С = .

3) Вычислите определитель

= АС – В².

Если окажется, что > 0, то функция z = f(x, y) в точке Р₀ (х_0, у₀) имеет максимум при А < 0 и минимум при А > 0; если же < 0, то в точке Р₀ (х₀, у₀) экстремума нет. Наконец, если же = 0, то вопрос об экстремуме в этой точке остается открытым и требует дополнительного исследования.

 

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется функция нескольких переменных?

2. Дайте определение непрерывности функции нескольких переменных.

3. Что называется частной производной функции нескольких переменных?

4. Какова геометрическая интерпретация частной производной функции двух аргументов?

5. Что называется полным дифференциалом функции двух аргументов?

6. Как вычисляется производная сложной функции?

7. Как вычисляется производная по направлению и какова её связь с градиентом функции?

8. Сформулируйте правило исследования функции двух переменных на экстремум.

 

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы

Для решения задач по этой теме необходимо, прежде всего, разобраться в правилах перехода от двойного интеграла по правильной области D к двукратному (повторному) интегралу: если D – правильная область, ограниченная в направлении к оси Оу линиями у= , у= , (, ), то

.

Обратите внимание на переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Изучите механические приложения двойного интеграла.

При изучении криволинейного интеграла разберитесь в способе его сведения к определенному интегралу по некоторому отрезку.

Изучите условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какая область называется правильной?

2. Как свести двойной интеграл по правильной области к двукратному?

3. Каковы правила перехода в двойном интеграле к полярным координатам?

4. Как вычисляется объем тела с помощью двойного интеграла?

5. Как вычисляется масса и центр тяжести плоской пластины при заданной поверхностной плотности?

6. Какие задачи приводят к понятию криволинейного интеграла?

7. Как вычисляется криволинейный интеграл?

8. Как влияет на значение криволинейного интеграла направление обхода контура интегрирования?

9. Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

10. Какова связь независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования и равенства нулю криволинейного интеграла по любому замкнутому контуру?

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

В задачах 301‑310 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

301. z= 8 ln (xy²) + 10xy² + 8x.

302. z= 2 tg (xy) – 7x²y + 6x.

303. z= 8 cos (xy) – 3x – 12x⁴y.

304. z= 3 ctg (x²y) + 7y – 6xy².

305. z= x sin (xy) + 8x²y² – 7x.

306. z= 6e + 3(x² + y²) + 3.

307. z= +3x⁴y – 8x – 2.

308. z= 9e - 5xy³ – 3y + 2.

309. z= 8 ln (x² + y²) – 6x²y³ + 8x – 1.

310. z= 3 - 4y²x + 3y - 2.

Решение типового примера. Пусть .

При вычислении частной производной переменную рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилом дифференцирования функции одного аргумента и, в частности, правилом дифференцирования сложной функции, получаем

Аналогично поступаем при вычислении Считая постоянной величиной, получаем

Используя те же правила, вычисляем частные производные второго порядка:

 

В задачах 311 – 320 задана функция z = f(x, y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке М(х₀, у₀) в направлении вектора , составляющего угол с положительным направлением оси Ох.

311. z= tg x + x – 2 sin y, M(), = .

312 z= , M(1; -1), = .

313. z= 2 cos (x +y) +2x, M(), = .

314. z= 3 tg x – 2x cos y, M(; ); = .

315. z= ln (x² + y²), M(3, 4), = .

316. z= x sin(x+y) – 1, M(; ), = .

317. z= x tg y + cos x, M(), = .

318. z= 2x² + 3xy + y², M(2; 1), = .

319. z= , M(2,2), = .

320. z= 5x² + 6xy, M(2; 1), = .

Решение типового примера. Пусть z = 2 tg x – 3x cos y.

Найдем градиент и производную этой функции в точке М в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси Ох. Для этого вычислим частные производные функции:

Вычислим теперь значения этих производных в точке М :

Таким образом,

(grad z)_M = .

Производная в направлении вектора , составляющего угол с положительным направлением оси Ох, вычисляется по формуле

,

т.е. в нашем случае

.

 

В задачах 321 – 340 найти экстремум заданной функции.

321. z= 2x² – xy + y² – 3x – y + 1.

322. z= x² + 2xy – y² + 4x.

323. z= 2x² + xy – y² – 7x + 5x + 2.

324. z= x² + y² = 9xy + 27.

325. z= 3x² + xy – 6y² – 6x – y + 9.

326. z= 5x² – 3xy + y² + 4.

327. z= 4x² – 2xy + y² – 2x – 4y + 1.

328. z= x² + 3y² + x - y.

329. z= 8x² – xy + 2y² – 16x + y – 1.

330. z= 3 – 2x² – xy – y².

331. z= 6xy – 2x² – y² – 14x + 5.

332. z= 3xy – x² – 3y² – 6x + 9y - 4.

333. z= 10xy – 3x² – 2y² – 26x + 18y – 1.

334. z= x² + y² – xy + x + y +2.

335. z= 3 – 3x² + 5y² – 8xy + 4x + 26y.

336. z= 3x² + 3y² + 5xy + x – y + 5.

337. z= 5x² – 3x² + 2xy – 18x – 10y + 4.

338. z= x² + 2xy – y² + 6x – 10y + 1.

339. z= 2x² – 3y² + 2xy – 10x + 16y – 7.

340. z= 4 – 5x² – y² – 4xy + 4x – 2y.

 

Решение типового примера. Пусть

z = 2x² – xy + 3y² – 2x – 11y + 1.

Находим частные производные функции:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

откуда х = 1; у = 2. Таким образом, стационарной является точка М (1, 2).

Находим значения частных производных второго порядка в точке М:

Составляем выражение

Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке М (1, 2). При этом минимальное значение функции равно z _min = -11.

 

В задачах 341 – 360 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).

341. x² + 4y² = 1; -x + 2y = 1.

342. x² + y² = 16; x + y = 4.

343. x² + y² = 9; x + y – 3 = 0.

344. .

345. x² + 25y² = 1; x – 5y = 1.

346. 16x² + 25y² = 1; 4x – 5y = 1.

347. 4x² + 25y² = 1; 2x – 5y – 1 = 0.

348. 4x² + 9y² = 1; 2x – 3y – 1 = 0.

349. x² + y² = 4; x + y + 2 = 0.

350. 9x² + 25y² = 1; 3x + 5y – 1 = 0.

351. y² = 2x + 4; y² = - x + 1.

352. y² = 3x – 2; y² = - x + 1.

353. y² = 9x + 9; y² = -x + 9.

354. y² = 4x + 4; y² = -x + 4.

355. x² = 2y + 4; x² = -y + 4.

356. x² = y + 2; x² = -y + 2.

357. x² = 3y + 9; x² = -y + 9.

358. x² = 3y + 7; x² = -y + 7.

359. x² = 25y + 25; x² = 5y + 25.

360. x² = 16y + 4; x² = 4y + 4.

 

Решение типовых примеров.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и прямой (поверхностную плотность в каждой точке считать равной единице).

Решение. В случае однородной пластины, занимающей область D плоскости хОу, координаты центра тяжести находят по формулам:

где S – площадь области D,

.

В рассматриваемом случае (см. рис. 7) фигура ограничена кривыми
у = и у = 3(1 - ) при . Поэтому

S =

=

Рис. 7

Для вычисления полученного интеграла используем замену . При этом . Отсюда

Итак, Далее

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены . Тогда и

Отсюда

Наконец,

 

Пример 2. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями
у² = х + 9, у² = -3х + 9 (рис. 8) (поверхностную плотность считать равной единице).

Решение.

Рис.8

 

Поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то = 0. Вычислим первую координату центра тяжести

Таким образом, , = 0.

 

В задачах 361–380 вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями и расположенного в первом октанте.

361. x² + y² + z² = 16; x² + y² = 4.

362. z = 2x + y; y = ; x = 0; y = 0; z = 0.

363. x² + y² = 2; x + y + z = 2; z = 0.

364. z = 3x; y = ; y = 0; z = 0.

365. x² + y² = ; x + y + z = 1; z = 0.

366. z = x² + y² + 1; x + y = 3; x = 0; y = 0; z = 0.

367. x² + y² + z² = 36; z = 0; y = x; y = 0.

368. z = 6 – x – y; 2x + y = 4; x = 0; y = 0; z = 0.

369. x² + y² = ; x + y + z = 3; z = 0.

370. y = ; z= 3x + 2y; x = 0; y = 0; z = 0.

371. x² + y² = 5; z = x² + y^2.

372. 4x + 3y – 12 = 0; z = x² + 1; x = 0; y = 0; z = 0.

373. x² + y² = 18; x + y + z = 6; z = 0.

374. z = x + y + 2; y = 2x: x = 3; x = 0; y = 0; z = 0.

375. z = 8 - x² - y²; x² + y² = 3; y = x; y = 0.

376. x + y = 1; z = 9x² + 3y² + 2; x = 0; y = 0; z = 0.

377. z = 1 - x² - y²; y = x; y = ; z = 0.

378. x + 2y = 2; z = 8 – 2x² + 4y; x = 0; y = 0; z = 0.

379. x² + y² = 18; y = x; y = 0; x + y + z = 6; z =0.

380. x² + y² + z² = 4; x² + y² = 3.

 

Решение типовых примеров.

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х² + у² = 8, х =0; у = 0; z = 0; х + у + z = 4 и расположенного в первом октанте.

Решение. Заданное тело ограничено круговым цилиндром х² + у² = 8, координатными плоскостями и плоскостью х + у + z = 4.

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и по бокам прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле

V =

В данном случае область D – это область круга радиуса , расположенная в первом квадранте, поэтому рассматриваемый интеграл удобно вычислять в полярных координатах. При этом , , . Таким образом,

 

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х²+у² = 9; х²+z² = 9 и расположенного в первом квадранте.

Решение. Заданное тело ограничено двумя круговыми цилиндрами.

Искомый объем выражается интегралом

,

где D – четверть круга радиуса, равного 3.

Таким образом,

 

В задачах 381–390 вычислить работу, совершаемую переменной силой на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N.

381.

L – дуга параболы y = 2x² + 1; M (0;1), N (2;9)

382.

L – дуга параболы y = 2x³ + 1; M (1;3), N (2;10)

383.

L – дуга параболы y = 7x² +2х; M (0;0), N (2;32)

384.

L – дуга параболы y = 3x² + х; M (1;3), N (2;25)

385.

L – дуга параболы y = 3x² + х; M (1;4), N (3;30)

386.

L – отрезок прямой, соединяющий точки M (1;2), N (4;6)

387.

L – дуга кубической параболы y = x³+1; M (1;3), N (2;10)

388.

L – дуга параболы y = x³ ; M (0;1), N (3;3)

389.

L – дуга параболы y = 3x² + 2; M (2;14), N (3;29)

390.

L – дуга параболы y = 2x² ; M (1;2), N (3;10)

 

Решение типового примера. Вычислим работу, совершаемую переменой силой на дуге параболы у = 3х² + х, соединяющей точки М (1; 4) и N (3; 29). Для этого необходимо вычислить криволинейный интеграл

.

Преобразуем этот криволинейный интеграл к определенному интегралу, для чего вычислим дифференциал и заметим, что переменная изменяется в пределах от х₁ = 1 до х₂ = 2. Тогда

.

 

В задачах 391–400 установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(1;2) и N(3;5).

391. .

392. .

393. .

394. .

395. .

396. .

397. .

398. .

399. .

400. .

 

Решение типового примера. Вычислим криволинейный интеграл

по контуру, соединяющему точки М(1;1) и N(2;30), предварительно убедившись в независимости его от пути интегрирования.

В данном случае выполнено условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

,

где Р = х² + 3ху, Q = . Действительно, , .

Выберем в качестве контура интегрирования наиболее простой контур, связывающий точки М и N, например, ломанную, звенья которой параллельны осям координат:

Рис. 9

Имеем на первом участке у =1, dy =0, 1 х 2; на втором участке х = 2, dx = 0,
1 у 3.

Таким образом,

.

 

Указания к выполнению контрольной работы № 5

 

Тема 1. Дифференциальные уравнения

 

Для того чтобы успешно решить задачи этой темы, следует особое внимание обратить на следующие типы дифференциальных уравнений:

1) однородные уравнения первого порядка,

2) линейные уравнения первого порядка,

3) уравнение Бернулли,

4) линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,

5) линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью уравнения, представленной произведением показательной функции и многочлена.

Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

,

если функция удовлетворяет условию

.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка легко приводятся к виду

,

где правая часть зависит лишь от отношения аргументов.

С помощью подстановки это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

где , – заданные непрерывные функции от аргумента х. Решение линейного уравнения ищут в виде , где и – новые неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение , , будем иметь

или

.

Если подобрать так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль, то последнее уравнение преобразуется к следующей системе уравнений:

каждое из которых есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Этим же приемом можно найти решение и уравнения Бернулли

где , – заданные непрерывные функции от x, n = 0, n ≠ 1.

Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p, q – действительные числа.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения, для отыскания которых следует прежде решить квадратное уравнение (которое называют характеристическим уравнением)

.

Если корни характеристического уравнения k ₁, k ₂ действительны и различны, то общее решение Y исходного дифференциального уравнения имеет вид

(С ₁, С ₂ = const)

Если корни характеристического уравнения действительны и равны, т. е. k ₁ = k ₂, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

.

Наконец, если характеристическое уравнение не имеет вещественных корней (т.е. его дискриминант p ² – 4 q отрицателен), то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

,

где ; .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

где многочлен степени n может быть представлено в виде

,

где Y – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, – какое-либо частное решение указанного неоднородного уравнения. Для отыскания пользуются следующим правилом:

1) если число y не является корнем характеристического уравнения, то

,

где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами;

2) если γ совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то

;

3) если оба корня характеристического уравнения равны γ, то

.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

3. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными? Как найти общее решение (общий интеграл) этого уравнения?

5. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка? Как найти его общий интеграл?

6. Приведите пример линейного дифференциального уравнения первого порядка. Как найти его общее решение?

7. Каковы свойства решений линейных однородных уравнений второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка?

9. Укажите вид общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

 

 

Тема 2. Ряды

 

Для решения задач этой темы необходимо усвоить несколько признаков сходимости для числовых рядов (необходимый признак сходимости, признаки сравнения рядов, признак Даламбера, признак Лейбница). Далее изучите понятия абсолютной и условной сходимости числовых рядов. Разберите метод отыскания радиуса сходимости степенного ряда, основанный на признаке Даламбера.

В приложениях степенных рядов к приближенному вычислению определенного интеграла вам потребуются следующие разложения элементарных функций в степенные ряды:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Обратите внимание на то, что приближенное вычисление определенного интеграла нередко приводит к представлению его в виде суммы сходящегося знакочередующегося ряда с невозрастающими по абсолютной величине членами. При вычислении такого интеграла с требуемой точностью нужно просуммировать столько членов соответствующего ряда, чтобы абсолютная величина первого отброшенного члена не превосходила заданной точности.

При изучении рядов Фурье обратите внимание на способы разложения в ряд Фурье функции, заданных на отрезке . Если эту функцию продолжить на отрезок четным образом, то полученное при этом разложение в ряд Фурье будет содержать лишь косинусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке [0, e]. Аналогично поступают, если требуется представить функцию, заданную на отрезке [0, e] тригонометрическим рядом, содержащим лишь синусы кратных дуг.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?

2. Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.

3. Сформулируйте признаки сравнения знакоположительных рядов.

4. В чем состоит признак Даламбера?

5. Для каких рядов применяется признак Лейбница? В чем его сущность?

6. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

7. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.

8. как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена для заданной функции?

9. Напишите разложения в ряд Маклорена функций e^x, sin x, cos x, arctg x, arcsin x, (1 + x)ⁿ.

10. Как используются степенные ряды в приближенных вычислениях?

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

 

В задачах 401–420 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

401. ху х^/ = х^2 + у^2 402. y^/ = 403. ху^/ + х tg = y 404. xy^/ + y ln 405. y^/ = + sin 406. 4xyy^/ - y^2 – 3x^2 = 0 407. (x – y) y^/ = 2x + y 408. xy^/ = y + 409. xy^/ ln = x + y ln 410. y^/ =

411. y^/ = 412. y^/ = - tg 413. x^2y^/ = y^2 + xy + x^2 414. xy^/ - y + =0 415. y^/ = + 416. y^/ = 417. xy^/ = y + 3x sin 418. 2x^2y^/ + x^2 + y^2 = 0 419. (3x + y)y^/ = x + 3y 420. xyy^/ = 8x^2 + y^2

 

Решение типового примера. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение. Правая часть уравнения обладает свойством . Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Совершим замену , где u – некоторая функция от аргумента х. Отсюда , . Исходное уравнение приобретает вид

.

Продолжаем преобразования:

;

.

Производим разделение переменных:

.

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

;

.

Таким образом,

;

.

Потенцируя, находим

или

.

Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид

,

где С – произвольная постоянная.

 

В задачах 421 – 440 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.

421. xy^/ - y = y^2 sin x, y 422. y^/cos^2x + y = tg x, y(0) = -1 423. y^/ - y ctg x = , y = 0 424. (1 + x^2) y^/ + y = arctg x, y(0) = 1 425. y^/ cos ^2x + y = tg x, y (0) = -1 426. y^/ + y = arcsin^/x; y(0) = -1 427. (1 + x^2)y^/ + y = y^2 arctg x, y(0) = 1 428. y^/ + 2y tg 2x = sin 4x; y(0) = 0 429. xy^/ - y = x^2 cos x, y 430. y^/ + y = e^2xy^2; y(0) = 2

431. , y(0)=-1 432. xy^/ - y = x^2 cos x; y() = 433. y^/ + 3ytg3x = sin6x, y(0) = 434. xy^/ + y = -x^2y^2; y(1) = 1 435. y^/ - , y(0) = 1 436. y^/sin x = - y cos x = 1; y() = 0 437. y^/ + y=x^2y^2, y(1) = 1 438. y^/x + 2y = 3x^5y^2; y(1) = -1 439. y^/ cos^2x + y = y^2tg x, y(0) = -1 440. y^/ + 2xy = 3x^2e; y(0) = 0

 

Решение типового примера. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем , где – неизвестные функции от х, . Подставляя у и в исходное уравнение, будем иметь

,

Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Для определения имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , откуда после интегрирования получаем , т.е.

.

Для определения функции имеем

или

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции