Интегральное исчисление функций одной переменной

Интегральное исчисление функций одной переменной

Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.

Первообразной функции называется такая функция , что = .

Её свойства: 1) Пусть непрерывна, F(x) –первообразная .

(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) F(x)+C

2) Если две первообразные для функции на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство:

Неопределенный интеграл - множество первообразных данной функции .

Его свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. F’(x)=f(x), то и

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: или

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где а- некоторая постоянная. Действительно, в силу свойства 1) неопределенного интеграла и , т.е. выражения и являются неопределенными интегралами для одной и той же функции . Следовательно, они равны (в том смысле, что выражают одно и то же множество функций).

5) Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов, т.е. . Доказательство: Как и в предыдущем случае, найдем производные левой и правой частей равенства:

, Таким образом, производные от левой и правой частей равенства равны между собой. Следовательно, выражения и представляют собой совокупность всех первообразных для одной и той же функции . Значит они равны.

6) Если , то .

Действительно, . Обозначим через и вспомнив правило вычисления производной сложной функции, имеем .

 

 

2. Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).

Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

, где и -многочлены от х.

дробь правильная

дробь неправильная, тогда , где -многочлен, а -правильная дробь.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно записать в виде:

Простейшие дроби называются функции двух видов: 1)

2)

Всякая правильная дробь представима, причем единственным образом, в виде суммы простейших дробей. -неизвестные коэффициенты

 

 

Алгоритм и интегрирования рациональных дробей.

Алгоритм взятия интеграла вида : 1) если дробь неправильная выделить целую часть

2) Знаменатель дроби разложить на множители.

3) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.

4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Интегралы от простейших (элементарных дробей).

8. Интегралы вида . Универсальная подстановка и другие подстановки.

Вычисление неопределенных интегралов вида сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Другие подстановки: 1)Интегралы типа .

а) подстановка , если n-целое положительное нечетное число;

б) , если m-целое положительное нечетное число

в) формулы понижения степени

г) , если m+n-есть четное отрицательное число

2) тригонометрические преобразования

3) дробно-линейная подстановка

9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы вида:

и .

10. Тригонометрические и гиперболические подстановки. Интегралы вида:

Интегрирование дифференциального бинома.

, здесь m,n,p-рациональные числа.

Теорема П.Л.Чебышева.

Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях.

1) Если p -целое.

2) Если

3)

Рассмотрим подробно эти случаи:

1) Если p-целое.

Если обозначим через r-наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n, то получим:

Пусть p- дробное число. Сделаем замену .

2) - целое число

Пусть . Используя замену , получаем:

3) целое число.

s- знаменатель числа p. Замена сводит интеграл

к интегралу от рациональной функции t

 

Теорема об оценке.

Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция F(x) является первообразной для f(x) на [a;b], то справедлива формула

î Согласно теореме о дифференцировании интеграла по верхнему пределу, функция

есть первообразная для функции f(x) на отрезке [a;b]. Так как и функция F(x) является первообразной для f(x) на [a;b], то разность Ф(x)-F(x) равна некоторой постоянной C на всем отрезке [a;b], т.е.

Положив в этом равенстве сначала x=a, а затем x=b, получим .

Но Ф(a)=0 и , т.е. и, следовательно, J

Свойства сходящихся рядов.

Пусть даны два ряда с положительными членами: и пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), т.е. (n=1,2,3…).(*)

Тогда

1) Если сходится (2), то сходится и (1).

2) Если расходится (1), то расходится и (2).

Доказательство:

Докажем сначала первую часть. Положим и по условию ряд (2) сходится, поэтому , где -сумма второго ряда. А из условия (*) следует что , т.е. что частичные суммы ряда (1) ограничены сверху. Но тогда в силу леммы(Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху , то ряд сходится) ряд сходится. Для доказательства второй части достаточно заметить что поскольку ряд (1) расходится, его частичные суммы неограниченно возрастают: . Так как , то и , а следовательно ряд (2) сходится, что и требовалось доказать.

Признак Даламбера.

Пусть для ряда с неотрицательными членами выполняется условие .

Тогда если q<1 то ряд сходится, а если q>1, то ряд расходится.

Доказательство:

По определению предела для любого существует номер N такой, что при любом . Пусть q<1. Тогда выбрав так, что , из неравенства () получим при любом , следовательно согласно лемме (Пусть дан ряд с неотрицательными членами. Тогда если существует такое число q, что при любом , то ряд расходится.) данный ряд сходится.

Пусть теперь q>1. тогда выбрав так что , из неравенства () имеем при любом . Последнее согласно лемме означает что ряд расходится.

Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями непрерывной функции f(x) при целых значениях аргумента x: , и пусть f(x) монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится если сходится несобственный интеграл и расходится если этот интеграл расходится.

Доказательство:

Рассмотрим криволинейную трапецию ограниченную линией с основанием от x=1 до x=n, где n-произвольное целое положительное число. Площадь ее измеряется интегралом .отметим целые точки основания x=1,x=2,…,x=n-1,x=n. Рассмотрим площадь ступенчатой фигуры: одна из них (входящая) имеет площадь равную где . Площадь первой фигуры меньше площади данной криволинейной трапеции, площадь второй больше ее, т.е. мы имеем . Отсюда получаем два неравенства: (*) и (**). Так как функция положительна то интеграл возрастает вместе с n; возможны 2 случая:

1) несобственный интеграл сходится, т.е. существует; тогда и из неравенства (*) при всяком n находим . Следовательно частичные суммы ограничены и на основании леммы(если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху, то ряд сходится) ряд сходится.

2) интеграл расходится; тогда при и на основании неравенства (**) заключаем, что также неограниченно возрастает, т.е. ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд , U_n>0 " n.

U_n=f(n); f(x) монотонно убывает на (1;¥)

 

I_n<f(1)+f(2)+…+f(n-1)=S_n-1

I_n>f(2)+f(3)+…+f(n)=S_n-U₁

S_n-U₁<I_n<S_n+U_n

Пусть интеграл сходится,

I_n<I "n

S_n<I_n+U₁<I+U₁

Ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность

Пусть расходится => I_n-неограниченная возрастающая последовательность.

S_n>I_n+U_n – также неограниченно возрастающая последовательность => ряд расходится.

Приложения степенных рядов.

Ряд вида , где х₀- центр ряда, а₀,а₁,…- коэффициенты степенного ряда, называется степенным рядом.

 

Функции многих переменных

47. Понятие функции многих переменных, область определения, график (n =2).

Функцией 2-х переменных, определенной на мн-ве DcR², называется закон сопоставляющий каждой точке с координатами некоторое число

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

Геометрической интерпретацией функции двух переменных f(x,y) служит поверхность z=f(x,y), которую называют графиком этой функции. Например, если , то графиком является параболоид вращения

Полная производная.

Пусть z=ƒ(x;y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: x=x(t), y=y(t). В этом случае функция z=ƒ(x(t);y(t)) является сложной функцией одной переменной t; переменный х и у – промежуточные переменные.

Теорема. Если z=ƒ(x;y) – дифференцируема в точке М(х;у) D функция x=x(t) и y=y(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t)=ƒ(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(1)

Частный случай: z=ƒ(x;y), где у=у(х), т.е. z=ƒ(x;y(х)) – сложная функция одной независимой переменной х. Согласно формуле (1) имеем:

или (2)

Формулу (2) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ(x;y), где x=x(u;v), y=y(u;v). Тогда z=ƒ(x(u;v); y(u;v)) – сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные и можно найти, используя формулу (1) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , , соответствующими частными производными , , :

(3)

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной

(u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (u и v) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v)

 

57. Полный дифференциал 1–го порядка сложной функции, свойство инвариантности. Дифференциал сложной функции порядка выше 1–го, нарушение свойства инвариантности.

Уравнение Бернулли

Найти решение задачи Коши для уравнение Бернулли

(α≠0, α≠1) (1)

С начальным условием

(1′)

Решение

1. С помощью подстановки , уравнение приводится к линейному

(2)

Где р=(1-α)g и q=(1-α)ƒ

2. решаем линейное уравнение (2) и делаем замену z=y^1-α.

3. Используем начальное условие (1′), находим решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у=φ(х)

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении уравнения Бернулли можно не приводить к линейному, а искать решение в виде y=u(x)v(x) или применять метод вариации произвольной постоянной.

 

Интегральное исчисление функций одной переменной